m6-2.9· Bölmə 2: Nisbət. Tənasüb. Faiz· ~14 dəq

Kəmiyyətin dəyişməsinin faizlə ifadəsi

Kəmiyyətin faizlə neçə artıb-azaldığını fərq və tənasüb üsulları ilə tapmaq, sadə faiz artımını hesablamaq.

Kəmiyyətin faizlə dəyişməsini tapmaq üçün əvvəlcə kəmiyyətin böyük qiymətindən kiçiyini çıxmaqla FƏRQ tapılır, sonra bu fərqin İLKİN qiymətə (dəyişmədən əvvəlki qiymətə) neçə faizi olduğu hesablanır: «Dəyişmə faizi = qiymət fərqi / ilkin qiymət ∙ 100%». Diqqət: məxrəcdə HƏMİŞƏ ilkin qiymət durur, yeni qiymət yox. Alternativ yol — tənasüb üsulu: yeni qiymətin ilkin qiymətin neçə faizini (p%) təşkil etdiyi tənasüblə tapılır, sonra bu faizin 100%-lə fərqi hesablanır — artımda p−100, azalmada 100−p. Kəmiyyət bir neçə dövr ərzində HƏR DƏFƏ İLKİN qiymətin eyni faizi qədər dəyişirsə, bu, sadə faiz artımı adlanır: n dövrdən sonrakı ümumi artım $A_n=\dfrac{S_0\cdot r\cdot n}{100}$ düsturu ilə tapılır (S0 — ilkin məbləğ, r — bir dövrdəki faiz, n — dövrlərin sayı), sonra «Sonrakı qiymət = İlkin qiymət + Artım» yazılır; «Bu, sadə faiz düsturu adlanır.» Sadə faizdə HƏR dövrün artımı EYNİ qalır, çünki hər dəfə İLKİN məbləğdən hesablanır, əvvəlki dövrün yekun məbləğindən deyil.

📌Nümunə

Məsələn: ilkin qiyməti 8 manat olan kitabın yeni qiyməti 10 manat olsa, fərq $10-8=2$ manat, dəyişmə faizi $2:8\cdot100\%=25\%$ bahalaşma olar.

Əsas terminlər

dəyişmə faizi — Kəmiyyətin böyük və kiçik qiymətləri arasındakı fərqin ilkin qiymətə olan nisbətinin faizlə ifadəsi:

\text{Dəyişmə faizi}=\dfrac{\text{qiymət fərqi}}{\text{ilkin qiymət}}\cdot100\%

sadə faiz artımı — Kəmiyyətin ilkin qiymətinin bir neçə dövr ərzində HƏR DƏFƏ eyni faiz qədər (həmişə ilkin qiymətdən hesablanmaqla) artması və ya azalması.

sadə faiz düsturu — Sonrakı qiymətin ilkin qiymətlə artımın cəmi kimi tapılması qaydası: Sonrakı qiymət = İlkin qiymət + Artım.

artım — Sadə faiz modelində n dövr ərzində toplanan ümumi dəyişmə məbləği:

A_n=\dfrac{S_0\cdot r\cdot n}{100}

ilkin qiymət/məbləğ (S0) — Kəmiyyətin dəyişmədən əvvəlki başlanğıc qiyməti; dəyişmə faizinin məxrəci və sadə faiz düsturunun əsasıdır.

İki üsulla dəyişmə faizinin tapılması: əməkhaqqı nümunəsi (900→1035 manat)

Üsul	Hesablama	Nəticə
Fərq üsulu	$1035-900=135$ ; $135:900\cdot100\%$	$15\%$ artım
Tənasüb üsulu	$900:100=1035:p \Rightarrow p=115$ ; $115-100$	$15\%$ artım

Hər iki üsul eyni nəticəni verir — hansını seçsən də, ilkin qiymət (900) əsas götürülür.

Sadə faiz artımı: ilkin məbləğ 5000 manat, illik faiz 10%

İl (n)	Həmin ilin artımı	Ümumi artım $A_n$	Sonrakı məbləğ
$1$	$500$	$500$	$5500$
$2$	$500$	$1000$	$6000$
$3$	$500$	$1500$	$6500$
$4$	$500$	$2000$	$7000$

Hər ilin artımı HƏMİŞƏ ilkin məbləğdən (5000-in 10%-i=500) hesablanır və dəyişmir — bu, sadə faiz artımının əlamətidir.

✎Məsələ: İlkin qiyməti 8 manat olan kitabın yeni qiyməti 10 manatdır. Kitab neçə faiz bahalaşıb?

1Addım 1 — Fərqi tap: Yeni qiymətdən ilkin qiyməti çıxaraq fərqi tapırıq: $10-8=2$ (manat).
2Addım 2 — Fərqi ilkin qiymətə bölüb 100-ə vur: $\dfrac{2}{8}\cdot100\%=25\%$ .
3Nəticə: Kitab $25\%$ bahalaşıb.

✎Məsələ: Bank hesabına illik artım faizi 10% olmaqla 5000 manat pul qoyulub. 4 ildə ümumi artım və sonrakı məbləğ neçə olar?

1Addım 1 — Düsturu yaz: $A_n=\dfrac{S_0\cdot r\cdot n}{100}$ .
2Addım 2 — Qiymətləri yerinə yaz: $A_4=\dfrac{5000\cdot10\cdot4}{100}=2000$ (manat).
3Addım 3 — Sonrakı məbləği tap: Sonrakı qiymət = İlkin qiymət + Artım = $5000+2000=7000$ (manat).
4Nəticə: 4 ildə artım $2000$ manat, sonrakı məbləğ $7000$ manatdır.

✎Məsələ: Televizorun qiyməti 1000 manatdır. Əvvəlcə 20% artırılıb, sonra yeni qiymət 20% endirilib. Son qiymət ilkin qiymətlə müqayisədə neçə faiz dəyişib?

1Addım 1 — Birinci dəyişməni tap: Artım: $1000$ -in $20\%$ -i $=\dfrac{1000\cdot20}{100}=200$ ; yeni qiymət $=1000+200=1200$ (manat).
2Addım 2 — İkinci dəyişməni tap: Azalma: $1200$ -nin $20\%$ -i $=\dfrac{1200\cdot20}{100}=240$ ; son qiymət $=1200-240=960$ (manat).
3Addım 3 — Son qiyməti ilkin qiymətlə müqayisə et: Fərq: $1000-960=40$ ; dəyişmə faizi: $\dfrac{40}{1000}\cdot100\%=4\%$ .
4Nəticə: Son qiymət ilkin qiymətdən $4\%$ aşağıdır — ardıcıl əks faiz dəyişmələri bir-birini ləğv etmir.

🚫Tez-tez səhv

Ümumi səhv: dəyişmə faizini hesablayarkən fərqi YENİ qiymətə bölmək. Məsələn 8→10 manat nümunəsində $2:10\cdot100\%=20\%$ yazmaq YANLIŞDIR — fərq HƏMİŞƏ ilkin qiymətə (8) bölünməlidir: $2:8\cdot100\%=25\%$ .

🚫Tez-tez səhv

Ümumi səhv: sadə faiz artımında hər dövrün artımını ƏVVƏLKİ dövrün YEKUN məbləğindən hesablamaq. Kitabda YALNIZ sadə faiz öyrədilir — hər dövrün artımı HƏMİŞƏ ilkin (S0) məbləğdən hesablanır, ona görə hər il eyni qalır.

🚫Tez-tez səhv

Ümumi səhv: ardıcıl əks faiz dəyişmələrinin (əvvəlcə artım, sonra eyni faizlə azalma) ilkin qiymətə qayıdacağını düşünmək. Televizor nümunəsində $1000\to1200\to960$ — son qiymət ilkin qiymətdən $4\%$ aşağıdır, eyni deyil.

⚠️Diqqət

Diqqət: tənasüb üsulunda tapılan $p$ faizindən 100-ü çıxarkən artım üçün $p-100$ , azalma üçün isə $100-p$ yazılmalıdır — işarəni qarışdırma.

Qaydalar

1Dəyişmə faizini tapmaq üçün əvvəlcə böyük qiymətdən kiçik qiyməti çıxaraq fərqi tap.
2Alınan fərqi HƏMİŞƏ ilkin qiymətə böl və 100-ə vur: Dəyişmə faizi = fərq / ilkin qiymət ∙ 100%.
3Tənasüb üsulunda əvvəlcə yeni qiymətin ilkin qiymətin neçə faizi (p%) olduğunu tap, sonra artımda p−100, azalmada 100−p hesabla.
4Sadə faiz artımında hər dövrün artımını HƏMİŞƏ ilkin məbləğdən (S0) hesabla: $A_n=S_0\cdot r\cdot n/100$ , sonra Sonrakı qiymət = İlkin qiymət + Artım.
5Ardıcıl əks faiz dəyişmələri (əvvəlcə artım, sonra eyni faizlə azalma) ilkin qiymətə qaytarmır — hər addımı ayrıca hesabla.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq