m6-2.1· Fəsil 2: Adi kəsrlər· ~13 dəq

Kəsrin əsas xassəsi və ixtisarı

Genişləndirmə, ixtisar, ortaq məxrəcə gətirmə.

Kəsrin əsas xassəsinə görə, kəsrin surətini və məxrəcini eyni sıfırdan fərqli natural ədədə vursaq və ya bölsək, kəsrin qiyməti dəyişməz. Surəti və məxrəci eyni ədədə vurmaq kəsri genişləndirməkdir: məsələn, 2/3 kəsrini 4-ə vuraraq 8/12 alarıq — bu iki kəsr bərabərdir. Əksinə, surəti və məxrəci onların ƏBOB-una bölmək kəsri ixtisaretməkdir (sadələşdirməkdir): 12/18 kəsrindəki ƏBOB(12, 18) = 6 olduğundan hər ikisini 6-ya bölərik — 2/3 alırıq. Belə kəsr artıq ixtisarlı deyil, çünki surət ilə məxrəcin ƏBOB-u 1-dir. Bir neçə kəsri müqayisə etmək, toplamaq və ya çıxmaq üçün isə onları ortaq məxrəcə — yəni məxrəclərin ƏKOB-una — gətiririk.

📌Nümunə

Məsələn: 1/4 və 5/6 kəsrlərini ortaq məxrəcə gətirmək üçün ƏKOB(4, 6) = 12 tapırıq; sonra 1/4 = 3/12 və 5/6 = 10/12 yazırıq.

Əsas terminlər

Kəsrin əsas xassəsi — Kəsrin surətini və məxrəcini eyni sıfırdan fərqli ədədə vursaq və ya bölsək, kəsrin qiyməti dəyişməz:

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}

Genişləndirmə — Kəsrin surətini və məxrəcini eyni natural ədədə vuraraq bərabər, lakin böyük məxrəcli kəsr almaq əməliyyatı:

\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}

İxtisar — Kəsrin surətini və məxrəcini ƏBOB-larına böləərk kəsri ən sadə şəklə gətirmə əməliyyatı. İxtisarlı kəsrdə

\text{ƏBOB}(\text{surət}, \text{məxrəc}) = 1

olur.

Ortaq məxrəc — Bir neçə kəsri toplamaq, çıxmaq və ya müqayisə etmək üçün hamısını bir məxrəcə (adətən məxrəclərin ƏKOB-una) gətirmə. Məsələn,

\frac{1}{4}

və

\frac{1}{6}

üçün

\text{ƏKOB}(4, 6) = 12

Surət — Kəsrin xəttinin üst hissəsindəki ədəd:

\frac{\mathbf{a}}{b}

ifadəsində

a

surətdir.

Məxrəc — Kəsrin xəttinin alt hissəsindəki ədəd:

\frac{a}{\mathbf{b}}

ifadəsində

b

məxrəcdir; sıfır ola bilməz.

Kəsrin əsas xassəsi: genişləndirmə və ixtisar

Əməliyyat	Qayda	Nümunə
Genişləndirmə	Surət və məxrəci eyni $k$ -ya vur: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$	$\frac{2}{3} \xrightarrow{\times 4} \frac{8}{12}$
İxtisar	Surət və məxrəci ƏBOB-a böl: $\frac{a}{b} = \frac{a \div d}{b \div d}$ , burada $d = \text{ƏBOB}(a,b)$	$\frac{12}{18}$ , $\text{ƏBOB}=6 \Rightarrow \frac{2}{3}$
Ortaq məxrəcə gətirmə	Hər kəsri $\text{ƏKOB}(b_1, b_2, \ldots)$ -a bərabər məxrəcə genişləndir	$\frac{1}{4}$ və $\frac{1}{6}$ : $\text{ƏKOB}=12 \Rightarrow \frac{3}{12}, \frac{2}{12}$
İxtisarın yoxlanması	Nəticənin surəti ilə məxrəcinin ƏBOB-u 1 olmalıdır	$\frac{2}{3}$ : $\text{ƏBOB}(2,3)=1$ — ixtisarlıdır

Hər üç əməliyyatda surət VƏ məxrəc eyni vaxtda dəyişdirilir.

Hansı kəsr ixtisarlıdır?

Kəsr	ƏBOB(surət, məxrəc)	Nəticə
$\frac{2}{5}$	$\text{ƏBOB}(2,5) = 1$	İxtisarlıdır — dəyişdirilmir
$\frac{4}{6}$	$\text{ƏBOB}(4,6) = 2$	$\frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3}$
$\frac{9}{12}$	$\text{ƏBOB}(9,12) = 3$	$\frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$
$\frac{10}{15}$	$\text{ƏBOB}(10,15) = 5$	$\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$
$\frac{7}{12}$	$\text{ƏBOB}(7,12) = 1$	İxtisarlıdır — dəyişdirilmir

ƏBOB = 1 olan kəsr artıq ixtisarlıdır; başqa ixtisar mümkün deyil.

✎Nümunə 1: Kəsri ixtisarlayın —

\frac{18}{24}

1Addım 1 — ƏBOB tapın: $18 = 2 \cdot 3^2$ , $24 = 2^3 \cdot 3$ . Ortaq çarpanlar: $2 \cdot 3 = 6$ . Deməli $\text{ƏBOB}(18, 24) = 6$ .
2Addım 2 — Hər ikisini ƏBOB-a bölün: $\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$ .
3Addım 3 — Yoxlayın: $\text{ƏBOB}(3, 4) = 1$ — ixtisarlıdır. Nəticə: $\frac{3}{4}$ .

✎Nümunə 2: Ortaq məxrəcə gətirin —

\frac{1}{4}

\frac{5}{6}

və

\frac{7}{12}

1Addım 1 — ƏKOB tapın: $\text{ƏKOB}(4, 6, 12)$ : $4 = 2^2$ , $6 = 2 \cdot 3$ , $12 = 2^2 \cdot 3$ . $\text{ƏKOB} = 2^2 \cdot 3 = 12$ .
2Addım 2 — $\frac{1}{4}$ genişləndir: $12 \div 4 = 3$ , buna görə $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$ .
3Addım 3 — $\frac{5}{6}$ genişləndir: $12 \div 6 = 2$ , buna görə $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$ .
4Addım 4 — $\frac{7}{12}$ yoxlayın: $12 \div 12 = 1$ , buna görə $\frac{7}{12}$ olduğu kimi qalır: $\frac{7}{12}$ .
5Nəticə: $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ , $\quad \frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ , $\quad \frac{7}{12} = \frac{7}{12}$ .

🚫Tez-tez səhv

Ən çox yayılan səhv: genişləndirmə zamanı surət VƏ məxrəci vurmaq əvəzinə TOPLAMAQ. Məsələn, $\frac{2}{5}$ -i 3-ə «genişləndirib» $\frac{5}{8}$ yazmaq yanlışdır ( $2+3=5$ , $5+3=8$ ). Düzgün yol: $2 \times 3 = 6$ , $5 \times 3 = 15$ , yəni $\frac{6}{15}$ .

🚫Tez-tez səhv

Ortaq məxrəcə gətirərkən tez-tez yalnız məxrəc dəyişdirilir, surət isə unudulur. Məsələn, $\frac{5}{6}$ -nı məxrəci 18-ə çevirmək üçün $18 \div 6 = 3$ ; surəti də mütləq 3-ə vurmaq lazımdır: $5 \times 3 = 15$ , nəticə $\frac{15}{18}$ -dir, $\frac{5}{18}$ yox.

💡Qeyd

İxtisarı tək addımda etmək lazım deyil. Əgər ƏBOB-u dərhal görmürsünüzsə, ardıcıl kiçik ədədlərə bölün: $\frac{12}{18} \div 2 = \frac{6}{9} \div 3 = \frac{2}{3}$ . Son nəticə eyni olur.

⚠️Diqqət

Ortaq məxrəc üçün istənilən ortaq qat götürmək mümkündür, lakin ən kiçik ortaq məxrəc ( $\text{ƏKOB}$ ) hesablamanı sadələşdirir. Məsələn, $\text{ƏKOB}(2,3,4) = 12$ ; 24 də ortaq məxrəc ola bilər, amma sonradan əlavə ixtisar tələb edir.

Qaydalar

1Kəsrin əsas xassəsi: surəti və məxrəci eyni sıfırdan fərqli ədədə vursaq və ya bölsək, kəsrin qiyməti dəyişmir: a/b = (a·k)/(b·k) = (a÷k)/(b÷k).
2Genişləndirmə: kəsrin surətini və məxrəcini eyni natural ədədə vurmaqla kəsri tapa bilirik — lazımlı məxrəci elde etmək üçün işlədilir.
3İxtisar: surəti və məxrəci ƏBOB-larına bölməklə kəsri ən sadə şəklə gətiririk; ixtisarlı kəsrdə ƏBOB(surət, məxrəc) = 1 olur.
4Ortaq məxrəc: bir neçə kəsri ortaq məxrəcə gətirmək üçün məxrəclərin ƏKOB-unu tapır, hər kəsri uyğun ədədə genişləndiririk.
5İxtisar nəticəsini yoxlamaq üçün yeni surət ilə yeni məxrəcin ƏBOB-unun 1 olduğunu nəzarət edirik.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq