m6-1.4· Fəsil 1: Bölünmə· ~13 dəq

Ən kiçik ortaq bölünən (ƏKOB)

İki-üç ədədin ƏKOB-unun tapılması.

İki və ya bir neçə ədədin ortaq bölünənləri həmin ədədlərin hər birinə bölünən tam ədədlərdir. Bu ortaq bölünənlərin ən kiçiyi isə **ən kiçik ortaq bölünən** (ƏKOB) adlanır. ƏKOB-u tapmağın ən etibarlı üsulu sadə vuruqlara ayırma üsuludur: hər ədədi sadə vuruqların hasilinə çevirir, sonra hər sadə vuruğun hər iki ədəddəki ən yüksək dərəcəsini götürüb vururuq.

📌Nümunə

Məsələn, ƏKOB(12, 18) tapmaq üçün: 12 = 2 · 2 · 3 və 18 = 2 · 3 · 3; ən yüksək dərəcələr — 2 iki dəfə, 3 iki dəfə — götürülür: ƏKOB = 2 · 2 · 3 · 3 = 36. ƏBOB ilə əlaqə: iki ədəd üçün ƏBOB · ƏKOB = a · b (məsələn, ƏBOB(12,18) = 6, ƏKOB(12,18) = 36, yəni 6 · 36 = 216 = 12 · 18).

Əsas terminlər

Bölünən —

b

ədədi

a

-ya tam bölünürsə,

b

ədədi

a

-nın bölünəni adlanır. Məsələn, 12-nin bölünənləri: 12, 24, 36, 48, ...

Ortaq bölünən — İki ədədin hər birinə tam bölünən ədəd onların ortaq bölünəni adlanır. Məsələn, 12 həm 4-ün, həm də 6-nın bölünənidir.

ƏKOB — Ən kiçik ortaq bölünən — iki (və ya daha çox) ədədin bütün ortaq bölünənlərinin ən kiçiyi. Qeyd:

\text{ƏKOB}(a, b) \geq \max(a, b)

Sadə vuruqlara ayırma — ƏKOB-u tapmağın əsas üsulu: hər ədədi sadə vuruqların hasilinə çevir, sonra hər sadə vuruğun ən yüksək dərəcəsini götürüb hasillə.

Qarşılıqlı sadə ədədlər —

\text{ƏBOB}(a, b) = 1

olan iki ədəd qarşılıqlı sadə adlanır. Belə ədədlər üçün

\text{ƏKOB}(a, b) = a \cdot b

ƏBOB-ƏKOB əlaqəsi — İki natural ədəd üçün

\text{ƏBOB}(a, b) \cdot \text{ƏKOB}(a, b) = a \cdot b

əlaqəsi həmişə doğrudur.

ƏKOB tapma üsulu — sadə vuruqlara ayırma

Ədədlər	Sadə vuruqlar	Hər vuruğun ən yüksək dərəcəsi	ƏKOB
$4$ və $6$	$4 = 2 \cdot 2$ ; $\;6 = 2 \cdot 3$	$2^2 = 4$ ; $\;3^1 = 3$	$4 \cdot 3 = 12$
$12$ və $18$	$12 = 2^2 \cdot 3$ ; $\;18 = 2 \cdot 3^2$	$2^2 = 4$ ; $\;3^2 = 9$	$4 \cdot 9 = 36$
$14$ və $21$	$14 = 2 \cdot 7$ ; $\;21 = 3 \cdot 7$	$2^1 = 2$ ; $\;3^1 = 3$ ; $\;7^1 = 7$	$2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$
$3$ və $5$	$3 = 3$ ; $\;5 = 5$ (qarşılıqlı sadə)	—	$3 \cdot 5 = 15$
$4$ , $6$ və $8$	$4=2^2$ ; $\;6=2\cdot 3$ ; $\;8=2^3$	$2^3=8$ ; $\;3^1=3$	$8 \cdot 3 = 24$

ƏKOB taparkən hər sadə vuruğun hər iki (bütün) ədəddəki ən yüksək dərəcəsi götürülür.

ƏBOB və ƏKOB müqayisəsi

Xüsusiyyət	ƏBOB (ən böyük ortaq bölücü)	ƏKOB (ən kiçik ortaq bölünən)
Tərifi	Ortaq bölücülərin ən böyüyü	Ortaq bölünənlərin ən kiçiyi
Sadə vuruqlarda	Hər vuruğun ən kiçik dərəcəsini götür	Hər vuruğun ən yüksək dərəcəsini götür
Məsələn: $12$ və $18$	$\text{ƏBOB}(12,18)=6$	$\text{ƏKOB}(12,18)=36$
Həmişə doğru əlaqə	$\text{ƏBOB} \cdot \text{ƏKOB} = a \cdot b$	$\text{ƏBOB} \cdot \text{ƏKOB} = a \cdot b$
Qarşılıqlı sadə ədədlər üçün	$\text{ƏBOB}(3,5)=1$	$\text{ƏKOB}(3,5)=15=3\cdot 5$
Bir ədəd digərinin bölünəni olduqda	$\text{ƏBOB}(5,10)=5$	$\text{ƏKOB}(5,10)=10$

ƏBOB və ƏKOB-u qarışdırmayın: ƏBOB bölücüdür (ədəddən kiçik ya bərabər), ƏKOB isə bölünəndir (ədəddən böyük ya bərabər).

✎ƏKOB(15, 20) — sadə vuruqlara ayırma üsulu ilə

1Addım 1: $15$ ədədini sadə vuruqlara ayır: $15 = 3 \cdot 5$ .
2Addım 2: $20$ ədədini sadə vuruqlara ayır: $20 = 2^2 \cdot 5$ .
3Addım 3: Hər sadə vuruğun ən yüksək dərəcəsini götür: $2^2 = 4$ ; $\;3^1 = 3$ ; $\;5^1 = 5$ .
4Addım 4: Hasili tap: $\text{ƏKOB}(15, 20) = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .
5Yoxlama: $60 \div 15 = 4$ ✓; $\;60 \div 20 = 3$ ✓. ƏBOB ilə yoxla: $\text{ƏBOB}(15,20) = 5$ ; $\;5 \cdot 60 = 300 = 15 \cdot 20$ ✓.

✎Tətbiq məsələsi: iki avtobus problemi

1Şərt: Bir avtobus hər $12$ dəqiqədən bir, başqa bir avtobus hər $18$ dəqiqədən bir gəlir. Eyni anda gəldikdən sonra növbəti birgə gəliş neçə dəqiqə sonradır?
2Addım 1: Bu məsələ ƏKOB-u tələb edir: $12 = 2^2 \cdot 3$ ; $\;18 = 2 \cdot 3^2$ .
3Addım 2: Ən yüksək dərəcələri götür: $2^2 = 4$ ; $\;3^2 = 9$ .
4Addım 3: $\text{ƏKOB}(12, 18) = 4 \cdot 9 = 36$ dəqiqə.
5Yoxlama: $36 \div 12 = 3$ ✓; $\;36 \div 18 = 2$ ✓. Hər iki avtobus $36$ dəqiqə sonra eyni vaxtda gələcək.

🚫Tez-tez səhv

Tələbə səhvi: ƏKOB-u iki ədədin cəmi ilə qarışdırmaq. Məsələn, $\text{ƏKOB}(6, 9) = 6 + 9 = 15$ demək yanlışdır. $15 \div 6 = 2$ qalıq $3$ — 15 heç 6-ya tam bölünmür. ƏKOB ortaq bölünəndir, cəm deyil.

🚫Tez-tez səhv

Tələbə səhvi: ƏKOB ilə ƏBOB-u qarışdırmaq. Məsələn, $\text{ƏKOB}(14, 21)$ üçün $7$ seçmək — amma $7 = \text{ƏBOB}(14, 21)$ (bölücü!), ƏKOB deyil. Düzgün cavab: $\text{ƏKOB}(14, 21) = 42$ , çünki $42 \div 14 = 3$ ✓ və $42 \div 21 = 2$ ✓.

🚫Tez-tez səhv

Tələbə səhvi: ƏKOB-un həmişə iki ədədin hasili olduğunu düşünmək. Bu yalnız ədədlər qarşılıqlı sadə olduqda doğrudur. Məsələn, $\text{ƏKOB}(6, 9) = 54$ deyil, $18$ -dir; çünki $\text{ƏBOB}(6,9) = 3 \neq 1$ , buna görə $\text{ƏKOB} = 54 \div 3 = 18$ .

💡Qeyd

ƏBOB-ƏKOB əlaqəsi: iki ədəd üçün $\text{ƏBOB}(a,b) \cdot \text{ƏKOB}(a,b) = a \cdot b$ həmişə doğrudur. Bu formula ilə, biri məlum olduqda digərini tapmaq asanlaşır: $\text{ƏKOB}(a,b) = \dfrac{a \cdot b}{\text{ƏBOB}(a,b)}$ .

⚠️Diqqət

Üç ədədin ƏKOB-u üçün formula $\text{ƏKOB}(a,b,c) = \dfrac{a \cdot b \cdot c}{\text{ƏBOB}(a,b) \cdot \text{ƏBOB}(b,c) \cdot \text{ƏBOB}(a,c)}$ deyil! Üç ədəd üçün sadə vuruqlara ayırma üsulundan istifadə etmək daha etibarlıdır: hər ədədi ayır, sonra hər sadə vuruğun ən yüksək dərəcəsini götür.

Qaydalar

1Bir ədədin özü o ədədin bölünənidir; hər iki ədədin bölünəni olan ədəd ortaq bölünən adlanır.
2ƏKOB-u tapmaq üçün hər ədədi sadə vuruqlara ayır və hər sadə vuruğun ən yüksək qüvvətini götür.
3Əgər iki ədəd qarşılıqlı sadədirsə (ƏBOB = 1), onların ƏKOB-u hasilinə bərabərdir.
4ƏBOB(a, b) · ƏKOB(a, b) = a · b əlaqəsi iki ədəd arasında həmişə doğrudur.
5Tətbiq: iki hadisə müvafiq olaraq hər a və b gündən bir təkrarlanırsa, eyni anda növbəti təkrarlanma ƏKOB(a, b)-ci gündə olur.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq