m6-1.3· Fəsil 1: Bölünmə· ~13 dəq

Ən böyük ortaq bölən (ƏBOB)

İki-üç ədədin ƏBOB-unun tapılması.

İki və ya bir neçə natural ədədin ortaq bölənlərindən ən böyüyünə həmin ədədlərin ən böyük ortaq böləni (ƏBOB) deyilir. ƏBOB-u tapmağın ən etibarlı üsulu sadə vuruqlara ayırma üsuludur: hər ədədi sadə ədədlərin hasilinə parçalayır, sonra hər iki yazılışda eyni iştirak edən sadə vuruqların ən kiçik göstəricilərdə götürülmüş hasili kimi ƏBOB-u müəyyən edirik.

📌Nümunə

Məsələn, ƏBOB(24; 36) = ? üçün: 24 = 2·2·2·3 = 2³·3 və 36 = 2·2·3·3 = 2²·3²; ortaq vuruqlar: 2² = 4 və 3¹ = 3, deməli ƏBOB(24; 36) = 4·3 = 12. Əgər iki ədədin ƏBOB-u 1-dirsə, həmin ədədlərə qarşılıqlı sadə ədədlər deyilir — onların ümumi bölənləri yalnız 1-dir. ƏBOB tətbiqi məsələlərdə, məsələn, 18 qırmızı və 30 mavi çiçəyi ən çox bərabər qruplara bölmək üçün istifadə olunur: ƏBOB(18; 30) = 6, deməli 6 bərabər qrupa bölmək olar.

Əsas terminlər

Ortaq bölən — İki və ya daha çox ədədi tam olaraq bölən ədəd. Məsələn, 12 və 18-in ortaq bölənləri:

1, 2, 3, 6

Ən böyük ortaq bölən (ƏBOB) — İki və ya daha çox ədədin bütün ortaq bölənlərindən ən böyüyü.

\text{ƏBOB}(12; 18) = 6

Sadə vuruq — Ədədi sadə ədədlərin hasili şəklində yazdıqda alınan hər bir sadə ədəd. Məsələn,

36 = 2^2 \cdot 3^2

olduqda sadə vuruqlar

2

və

3

-dür.

Qarşılıqlı sadə ədədlər — ƏBOB-u

1

-ə bərabər olan iki ədəd. Məsələn,

8

və

15

qarşılıqlı sadədir, çünki

\text{ƏBOB}(8; 15) = 1

Sadələrə ayırma üsulu — Hər ədədi sadə ədədlərə vurulur, ortaq sadə vuruqlar ən kiçik göstəricilərlə götürülüb vurulur — nəticə ƏBOB-dur.

ƏBOB tətbiqi — Şeyləri bərabər qruplara bölmək lazım olduqda, ən çox qrupun sayı ƏBOB-a bərabərdir.

ƏBOB-u tapmaq üsulu — addım-addım

Addım	Əməliyyat	Nümunə: ƏBOB(36; 48)
1	Hər ədədi sadə vuruqlara ayır	$36 = 2^2 \cdot 3^2$ ; $\quad 48 = 2^4 \cdot 3$
2	Ortaq sadə vuruqları tap	$2$ və $3$ hər ikisində var
3	Hər ortaq vuruğun ən kiçik göstəricisini götür	$2^{\min(2,4)} = 2^2 = 4$ ; $\quad 3^{\min(2,1)} = 3^1 = 3$
4	Seçilmiş vuruqları bir-birinə vur	$\text{ƏBOB}(36; 48) = 4 \cdot 3 = 12$

Ortaq vuruğun göstəricisi həmişə ən kiçiyi götürülür — ən böyüyü deyil. Bu qaydanı unutma!

ƏBOB haqqında mühüm xassələr

Xassə	İfadə	Nümunə
ƏBOB heç vaxt ədədin özündən böyük ola bilməz	$\text{ƏBOB}(a; b) \leq \min(a; b)$	$\text{ƏBOB}(8; 12) \leq 8$
Eyni ədədin ƏBOB-u özüdür	$\text{ƏBOB}(a; a) = a$	$\text{ƏBOB}(7; 7) = 7$
Biri digərini böldükdə ƏBOB kiçik ədəddir	Əgər $a \mid b$ olarsa, $\text{ƏBOB}(a; b) = a$	$\text{ƏBOB}(6; 18) = 6$
Qarşılıqlı sadə ədədlər	$\text{ƏBOB}(a; b) = 1$	$\text{ƏBOB}(8; 15) = 1$
İki cüt ədədin ƏBOB-u cütdür	Hər ikisi cüt → $\text{ƏBOB} \geq 2$	$\text{ƏBOB}(4; 6) = 2$

Bu xassələri yoxlama vasitəsi kimi istifadə et: tapdığın ƏBOB bu qaydaların heç birinə zidd olmamalıdır.

✎Məsələ: ƏBOB(42; 70) = ?

1Addım 1: $42$ -ni sadə vuruqlara ayır: $42 = 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
2Addım 2: $70$ -i sadə vuruqlara ayır: $70 = 2 \cdot 35 = 2 \cdot 5 \cdot 7$
3Addım 3: Ortaq sadə vuruqları tap: $2$ hər ikisində (göstərici $1$ ); $7$ hər ikisində (göstərici $1$ ). $3$ və $5$ yalnız birindədir — bunlar ortaq deyil.
4Addım 4: Ortaq vuruqları ən kiçik göstəricilərlə vur: $\text{ƏBOB}(42; 70) = 2^1 \cdot 7^1 = 14$
5Yoxlama: $42 \div 14 = 3$ ✓; $\quad 70 \div 14 = 5$ ✓; $\quad 14 > 7$ (7 sadəcə ortaq bölən, ən böyüyü deyil) ✓

✎Tətbiq məsələsi: taxtaları bərabər hissələrə kəsmək

1Şərt: Uzunluqları $45$ sm və $75$ sm olan iki taxtanı ən uzun bərabər hissələrə kəsmək lazımdır (artıq qalmasın).
2Addım 1: $45 = 3^2 \cdot 5$ ; $\quad 75 = 3 \cdot 5^2$
3Addım 2: Ortaq vuruqlar: $3^{\min(2,1)} = 3$ və $5^{\min(1,2)} = 5$ . Deməli $\text{ƏBOB}(45; 75) = 3 \cdot 5 = 15$ .
4Addım 3: Hər hissənin uzunluğu $15$ sm olacaq: $45 \div 15 = 3$ hissə, $75 \div 15 = 5$ hissə — cəmi $8$ hissə.
5Qeyd: Ən uzun hissəni istəyirik, yəni ən böyük ortaq böləni — bu da ƏBOB-dur.

🚫Tez-tez səhv

Ən çox yayılmış səhv: ortaq bölən tapdıqda dərhal cavab yazmaq. Məsələn, $\text{ƏBOB}(32; 56)$ üçün $4$ ortaq böləndir, lakin ən böyüyü deyil — $8 = 2^3$ da hər ikisini bölür ( $32 \div 8 = 4$ ✓, $56 \div 8 = 7$ ✓). Həmişə tapdığın bölənin gerçəkdən ən böyüyü olduğunu yoxla.

🚫Tez-tez səhv

Sadələrə ayırmada göstərici xətası: $\text{ƏBOB}$ üçün ən KİÇİK göstərici götürülür, ən böyüyü yox. Məsələn, $a = 2^3 \cdot 3$ və $b = 2^2 \cdot 3^2$ üçün ortaq $2$ -nin göstəricisi $\min(3, 2) = 2$ -dir, $3$ deyil. $\text{ƏBOB} = 2^2 \cdot 3 = 12$ , $24$ deyil.

⚠️Diqqət

Seçilmiş ədədin həqiqətən hər iki ədədi bölüb-bölmədiyini yoxla. Məsələn, $\text{ƏBOB}(8; 12)$ üçün $6$ : $8 \div 6 = 1{,}33...$ — tam deyil! Yəni $6$ , $8$ -in böləni deyil, ona görə cavab ola bilməz.

💡Qeyd

Ortaq bölənlərin sayını tapmaq lazım olduqda: əvvəlcə ƏBOB-u tap, sonra həmin ƏBOB-un neçə böləni olduğunu say. Məsələn, $\text{ƏBOB}(54; 36) = 18$ ; $18$ -in bölənləri $1, 2, 3, 6, 9, 18$ — cəmi $6$ ortaq bölən var.

Qaydalar

1Ən böyük ortaq bölən (ƏBOB): iki və ya daha çox ədədin bütün ortaq bölənlərindən ən böyüyüdür.
2Sadə vuruqlara ayırma üsulu: hər ədədi sadə ədədlərə vur, ortaq sadə vuruqları ən kiçik göstəricidə götür və vur.
3Əgər ƏBOB(a; b) = 1 olarsa, a və b ədədləri qarşılıqlı sadədir — bunların ümumi böləni yalnız 1-dir.
4ƏBOB(a; b) həmişə hər iki ədədin özündən kiçik və ya bərabərdir: ƏBOB(a; b) ≤ min(a; b).
5Tətbiqdə: n şeyi bərabər qruplara bölmək üçün hər qrupdakı say ƏBOB-un böləni olmalıdır; ən çox qrup sayı isə ƏBOB-a bərabərdir.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq