m7-7.5· Bölmə 2. Rasional ədədlər· ~13 dəq

Modullu və ikiqat bərabərsizliklər

Mütləq qiyməti (modulu) olan bərabərsizliklərin və ikiqat bərabərsizliklərin həlli.

Modullu bərabərsizliklər mütləq qiymət işarəsi daxil olan bərabərsizliklərdir. Mütləq qiymət $|a|$ bir ədədin sayı oxu üzərində sıfırdan məsafəsini göstərir. Buna görə də $|a|$ həmişə qeyri-mənfidir. $|x| < a$ (burada $a > 0$ ) bərabərsizliyi $-a < x < a$ ikiqat bərabərsizliyinə ekvivalentdir, çünki $x$ sıfırdan uzaqlığı $a$ -dan kiçik olan nöqtələr çoxluğudur. $|x| > a$ bərabərsizliyi isə iki ayrı halda həll olunur: $x > a$ və ya $x < -a$ . Bu zaman həll iki ayrı intervalın birləşməsindən ibarətdir. $|x| \le a$ və $|x| \ge a$ hallarında da oxşar qaydalar tətbiq edilir, yalnız bərabərlik işarəsi nəzərə alınır. İkiqat bərabərsizliklər $a < x < b$ şəklində yazılır və sayı oxu üzərində $a$ ilə $b$ arasındakı intervalı təmsil edir. Şagirdlər tez-tez $|x| < a$ bərabərsizliyini həll edərkən yalnız $x < a$ hissəsini götürüb mənfi tərəfi unudurlar. Bu mövzu ədədlərin müqayisəsi, sayı oxu üzərində təsviri və bərabərsizliklərin həlli bacarıqlarını inkişaf etdirir.

📌Nümunə

Məsələn: $|x| < 4$ bərabərsizliyinin həlli $-4 < x < 4$ intervalıdır, yəni $-4$ ilə $4$ arasında olan bütün həqiqi ədədlər.

Əsas terminlər

Mütləq qiymət (modul) —

|a|

— ədədin ədəd oxu üzərində sıfırdan olan məsafəsi; həmişə qeyri-mənfidir:

|a| \ge 0

Modullu bərabərsizlik — Tərkibində mütləq qiymət işarəsi olan bərabərsizlik, məs.

|x| < a

və ya

|x| > a

İkiqat bərabərsizlik —

a < x < b

şəklində,

x

-in iki sərhəd arasında olduğunu göstərən bərabərsizlik.

Açıq interval — Uc nöqtələr daxil olmayan interval:

a < x < b

Qapalı interval — Uc nöqtələr daxil olan interval:

a \le x \le b

Boş həll çoxluğu — Bərabərsizliyin heç bir ədəd üçün doğru olmadığı hal, məs.

|x| < 0

Modullu bərabərsizliklərin həlli

Bərabərsizlik	Ekvivalent forma	Nümunə ( $a=4$ )
$\|x\| < a$	$-a < x < a$	$\|x\|<4 \Rightarrow -4<x<4$
$\|x\| \le a$	$-a \le x \le a$	$\|x\|\le4 \Rightarrow -4\le x\le4$
$\|x\| > a$	$x>a$ və ya $x<-a$	$\|x\|>4 \Rightarrow x>4$ və ya $x<-4$
$\|x\| \ge a$	$x\ge a$ və ya $x\le -a$	$\|x\|\ge4 \Rightarrow x\ge4$ və ya $x\le-4$

$a>0$ olduqda tətbiq edilir; şərt yalnız $<,\le$ üçün BİR interval, $>,\ge$ üçün İKİ ayrı interval verir.

Xüsusi hallar

Bərabərsizlik	Nəticə	Səbəb
$\|x\| < 0$	həll yoxdur	mütləq qiymət heç vaxt mənfi olmur
$\|x\| > -a$ ( $a>0$ )	bütün həqiqi ədədlər	mütləq qiymət həmişə mənfi ədəddən böyükdür
$\|x+3\| \le 0$	yalnız $x=-3$	$\|x+3\|\ge0$ olduğundan bərabərlik yalnız $0$ -da mümkündür

Bu xüsusi hallar modulun qeyri-mənfi olması xassəsindən irəli gəlir.

✎Sadə modullu bərabərsizliyin həlli:

|x| < 4

1Verilir: $|x| < 4$ bərabərsizliyini həll etmək lazımdır.
2Mənasını izah et: $|x|<4$ o deməkdir ki, $x$ -in sıfırdan məsafəsi $4$ -dən kiçikdir.
3İkiqat bərabərsizliyə çevir: Bu şərt ekvivalent olaraq $-4 < x < 4$ ikiqat bərabərsizliyi kimi yazılır.
4Nəticə: Həll çoxluğu $-4$ ilə $4$ arasındakı bütün həqiqi ədədlərdir: $-4 < x < 4$ .

✎İkiqat bərabərsizliyin həlli:

-3 < 2x+1 \le 5

1Verilir: $-3 < 2x+1 \le 5$ ikiqat bərabərsizliyini həll etmək lazımdır.
2Hər tərəfdən $1$ çıx: $-3-1 < 2x+1-1 \le 5-1$ , yəni $-4 < 2x \le 4$ .
3Hər tərəfi $2$ -yə böl: $\frac{-4}{2} < \frac{2x}{2} \le \frac{4}{2}$ , yəni $-2 < x \le 2$ .
4Nəticə: Bərabərsizliyin həlli $-2 < x \le 2$ -dir.

🚫Tez-tez səhv

Ən çox rast gəlinən səhv: $|x| < a$ bərabərsizliyini həll edərkən yalnız $x < a$ hissəsini götürüb mənfi tərəfi ( $-a < x$ ) unutmaq. Modullu bərabərsizlikdə HƏR ZAMAN hər iki tərəf yoxlanmalıdır.

🚫Tez-tez səhv

$|x| < -2$ kimi bərabərsizliyi $x<-2$ və ya $x>2$ kimi 'həll etmək' səhvdir — mütləq qiymət heç vaxt mənfi ola bilmədiyi üçün bu bərabərsizliyin həlli YOXDUR.

⚠️Diqqət

$|x|<a$ ilə $|x|>a$ arasındakı fərqi qarışdırmayın: birincisi TƏK interval ( $-a<x<a$ ), ikincisi İKİ AYRI interval ( $x>a$ və ya $x<-a$ ) verir.

⚠️Diqqət

İkiqat bərabərsizliyi həll edərkən hər addımı (toplama, çıxma, bölmə) BƏRABƏRSİZLİYİN HƏR ÜÇ HİSSƏSİNƏ eyni vaxtda tətbiq edin, yoxsa nəticə səhv olar.

💡Qeyd

İnterval yazarkən sərhədin daxil olub-olmamasına diqqət edin: 'ən çoxu' və ya 'daxil olmaqla' sözləri $\le,\ge$ işarəsini, 'kiçikdir/böyükdür' isə sərt $<,>$ işarəsini tələb edir.

Qaydalar

1Mütləq qiymətin tərifi: $|a| = \begin{cases} a, & a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$ .
2 $|x| < a$ ( $a > 0$ ) bərabərsizliyinin həlli: $-a < x < a$ .
3 $|x| > a$ ( $a > 0$ ) bərabərsizliyinin həlli: $x > a$ və ya $x < -a$ .
4Mütləq qiymət həmişə qeyri-mənfidir: $|x| \ge 0$ .
5İkiqat bərabərsizlik $a < x < b$ , $a$ ilə $b$ arası intervalı (açıq interval) ifadə edir; uclar daxil olduqda $a \le x \le b$ yazılır.
6 $|x| < 0$ bərabərsizliyinin həlli yoxdur.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq