m8-c15· Bölmə 3. Kvadrat tənliklər· ~10 dəq

Kvadrat tənliyə gətirilən tənliklər

Əvəzləmə üsulu ilə kvadrat tənliyə gətirilən tənliklərin həlli.

Bəzi tənliklər ilk baxışdan kvadrat tənlik kimi görünməsə də, uyğun əvəzləmə aparmaqla kvadrat tənliyə gətirilə bilər. Əgər tənlikdə eyni ifadə ( $x+a$ kimi bir mötərizə, $\sqrt{x}$ , $|x|$ və ya $x^2$ ) bir neçə dəfə təkrarlanırsa, bu ifadəni yeni $t$ dəyişəni ilə əvəz etmək tənliyi sadələşdirir. Əvəzləmədən sonra alınan $t^2+pt+q=0$ tənliyi adi kvadrat tənlik kimi həll edilir və tapılan $t$ kökləri əks əvəzləmədə nəzərə alınaraq $x$ -in qiymətləri müəyyən edilir. Bəzi əvəzləmələrdə ( $\sqrt{x}=t$ , $|x|=t$ ) $t\ge 0$ şərti olduğundan, mənfi $t$ kökünə uyğun $x$ mövcud olmur və bu kök kənara atılır. Digər tənliklərdə isə mötərizələr açılıb tərəflər bir tərəfə keçirilməklə birbaşa $ax^2+bx+c=0$ şəklinə gətirilir. Bəzən mötərizələr açılan tənlik natamam kvadrat tənliyə ( $ax^2+bx=0$ ) düşür və ortaq vuruğu mötərizəyə çıxarmaqla həll olunur. Tapılan bütün kökləri ilkin tənlikdə yerinə yazaraq yoxlamaq vacibdir.

📌Nümunə

Məsələn: $x-\sqrt{x}-6=0$ tənliyində $\sqrt{x}=t$ əvəzləməsi aparılsa, $t^2-t-6=0$ tənliyindən $t_1=3$ , $t_2=-2$ alınır; $t_2=-2$ mənfi olduğundan kənara atılır, $t_1=3$ -dən isə $x=9$ tapılır.

Əsas terminlər

Əvəzləmə — Tənlikdə təkrarlanan bir ifadəni (

x+a

\sqrt{x}

|x|

və s.) yeni

t

dəyişəni ilə əvəz edərək tənliyi sadə kvadrat tənliyə gətirmə üsulu.

Əks əvəzləmə —

t

-nin tapılmış qiymətlərini ilkin əvəzləmə bərabərliyində yerinə yazaraq

x

-i tapma addımı.

Kökü yoxdur — Əvəzlənən

t

dəyişəninin tapılmış qiyməti onun öz şərtinə (məsələn,

\sqrt{x}\ge 0

) uyğun gəlmədikdə, həmin qiymətə uyğun kök mövcud olmur.

Yoxlama — Tapılan kökləri ilkin tənlikdə yerinə yazaraq bərabərliyin doğru olduğunu təsdiqləmə addımı.

Kvadrat tənliyə gətirilən əvəzləmə üsulları

Tənliyin növü	Əvəzləmə	Şərt
$(x+a)^2+b(x+a)+c=0$	$t=x+a$	Şərt yoxdur
$x^4+bx^2+c=0$	$t=x^2$	$t\ge 0$
$x+\sqrt{x}+c=0$ tipli	$t=\sqrt{x}$	$t\ge 0$
$x^2+b\|x\|+c=0$	$t=\|x\|$	$t\ge 0$

✎Nümunə:

(x+3)^2+3(x+3)-54=0

tənliyinin həlli

1Əvəzləmə: $x+3=t$ əvəzləməsini aparaq: tənlik $t^2+3t-54=0$ şəklinə düşür.
2t-nin tapılması: $t^2+3t-54=0$ tənliyini $(t+9)(t-6)=0$ kimi yazıb həll edirik: $t_1=-9$ , $t_2=6$ .
3Əks əvəzləmə: $x+3=-9$ olduqda $x_1=-12$ ; $x+3=6$ olduqda $x_2=3$ .

⚠️Diqqət

Əvəzlənən dəyişənin öz şərtini ( $\sqrt{x}\ge 0$ və ya $|x|\ge 0$ ) unutmaq səhvdir: bu şərtə uyğun gəlməyən $t$ qiyməti kökü olmayan hal kimi kənara atılmalıdır.

💡Qeyd

Tapılan bütün kökləri ilkin tənlikdə yerinə yazıb yoxlamaq həllin düzgünlüyünü təsdiqləyir.

Qaydalar

1Tənlikdə təkrarlanan bir ifadəni ( $x+a$ , $\sqrt{x}$ , $|x|$ , $x^2$ və s.) yeni $t$ dəyişəni ilə əvəz etsək, tənlik sadə kvadrat tənliyə düşür.
2 $t$ üçün alınan tənliyi vuruqlara ayıraraq və ya tənliyin kök düsturundan istifadə edərək həll edirik.
3 $\sqrt{x}=t$ və ya $|x|=t$ əvəzləmələrində $t\ge 0$ şərti mütləq yoxlanılmalıdır; mənfi $t$ qiyməti uyğun kökü olmayan hal kimi kənara atılır.
4Tapılan hər $t$ qiyməti üçün əks əvəzləmə aparılır və uyğun $x$ tənliyi ayrıca həll edilir.
5Mötərizələri açıb tərəfləri bir tərəfə keçirməklə tənliyi $ax^2+bx+c=0$ standart şəklinə gətirmək olar.
6Tapılan kökləri ilkin tənlikdə yerinə yazmaqla həllin doğruluğunu yoxlamaq lazımdır.

Məşq

4 asan · 4 orta · 4 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq