m8-3.1· Fəsil 3: Kvadrat tənliklər· ~13 dəq

Diskriminant ilə həll

$ax^2 + bx + c = 0$ tənliyinin diskriminantla həlli.

Kvadrat tənlik $ax^2 + bx + c = 0$ formasında yazılır ( $a \neq 0$ ). Bu tənliyi həll etmək üçün diskriminant düsturu istifadə olunur: $D = b^2 - 4ac$ . Diskriminantın işarəsinə görə köklərin sayını müəyyən edirik: $D > 0$ olduqda tənliyin iki fərqli həqiqi kökü var; $D = 0$ olduqda iki bərabər kök (tək həqiqi kök) mövcuddur; $D < 0$ olduqda həqiqi köklər yoxdur.

Köklər isə $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ düsturu ilə tapılır. Həmişə əvvəlcə tənliyi standart formaya gətirmək, sonra $a$ , $b$ , $c$ əmsallarını düzgün müəyyənləşdirmək lazımdır. Mənfi işarəyə xüsusi diqqət yetirilməlidir.

📌Nümunə

Məsələn: $x^2 - 5x + 6 = 0$ tənliyini həll edək: $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ ; $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$ ; $x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$ , $x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$ .

Əsas terminlər

Kvadrat tənlik —

ax^2 + bx + c = 0

(

a \neq 0

) formasında yazılan tənlik; ən çoxu iki kökü ola bilər.

Əmsallar (

a

b

c

) — Tənliyi standart formaya gətirdikdən sonra müəyyən olunan ədədlər; işarələri ilə birlikdə götürülür.

Diskriminant (

D

) —

D = b^2 - 4ac

düsturu ilə hesablanan kəmiyyət; köklərin sayını təyin edir.

İkiqat kök —

D = 0

olduqda alınan tək həqiqi kök:

x = -\frac{b}{2a}

Köklər düsturu —

x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

;

D > 0

olduqda iki fərqli kök verir.

Standart forma — Tənliyin bütün hədlərinin bir tərəfə yığılaraq

ax^2 + bx + c = 0

şəklinə salınması.

Diskriminanta görə kök sayı

$D$ -nin işarəsi	Kök sayı	Köklər
$D > 0$	İki fərqli həqiqi kök	$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$D = 0$	Bir ikiqat kök	$x = -\frac{b}{2a}$
$D < 0$	Həqiqi kök yoxdur	—

Diskriminantın işarəsi köklərin sayını müəyyən edir.

Düsturlar və nümunə

Addım	Düstur	Nümunə ( $x^2 - 5x + 6 = 0$ )
Əmsallar	$a$ , $b$ , $c$	$a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$
Diskriminant	$D = b^2 - 4ac$	$D = 25 - 24 = 1$
Köklər	$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$	$x_1 = 3$ , $x_2 = 2$

Həll ardıcıllığı: əmsallar → diskriminant → köklər.

✎İki fərqli kök:

x^2 - 7x + 10 = 0

1Əmsalları yaz: $a = 1$ , $b = -7$ , $c = 10$ .
2Diskriminantı hesabla: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 > 0$ .
3Kökü çıxar: $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$ , deməli $x = \frac{7 \pm 3}{2}$ .
4Kökləri tap: $x_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5$ , $x_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2$ .
5Cavab: Böyük kök $5$ -dir.

✎İrrasional köklər:

2x^2 - 6x + 3 = 0

1Əmsalları yaz: $a = 2$ , $b = -6$ , $c = 3$ .
2Diskriminantı hesabla: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12 > 0$ .
3Kökü sadələşdir: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ .
4Düstura qoy: $x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4}$ .
5İxtisar et: Surət və məxrəci $2$ -yə bölərək $x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$ alırıq.

🚫Tez-tez səhv

$D < 0$ köklərin olmaması, $D = 0$ isə bir ikiqat kök deməkdir. $D = 0$ olduqda «kök yoxdur» və ya «iki fərqli kök» demək səhvdir.

🚫Tez-tez səhv

Düstur $D = b^2 - 4ac$ -dir, $b^2 + 4ac$ deyil. Mənfi nəticəni gözdən qaçırmayın: məsələn $x^2 + 2x + 5 = 0$ üçün $D = 4 - 20 = -16$ .

⚠️Diqqət

Mənfi $b$ qüvvətə qaldırılanda müsbət olur: $b = -4$ üçün $b^2 = (-4)^2 = 16$ , mənfi deyil.

⚠️Diqqət

$\sqrt{D}$ -ni sadələşdirdikdən sonra surət və məxrəci birlikdə ixtisar et: $\frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4}$ -də yalnız bir hissəni deyil, hamısını $2$ -yə böl → $\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$ .

💡Qeyd

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ düsturunda $-b$ olduğunu unutma: $b = -5$ olanda surət $+5$ olur.

Qaydalar

1Diskriminant düsturu: $D = b^2 - 4ac$ (burada $ax^2 + bx + c = 0$ , $a \neq 0$ ).
2 $D > 0$ olduqda tənliyin iki fərqli həqiqi kökü var: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ .
3 $D = 0$ olduqda tənliyin bir ikiqat kökü var: $x = -\frac{b}{2a}$ .
4 $D < 0$ olduqda tənliyin həqiqi kökü yoxdur.
5Köklər tapılandan sonra orijinal tənliyə əvəz edərək yoxlama aparmaq faydalıdır.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq