m8-2.3· Fəsil 2: Kvadrat köklər· ~13 dəq

Məxrəcin irrasionallıqdan azad edilməsi

Məxrəci kök olan kəsrin çevrilməsi.

Kəsrin məxrəcində irrasional ifadə (kvadrat kök) olduqda hesablamaq çətinləşir, ona görə məxrəci rasionallaşdırmaq — yəni onu tam ədədə çevirmək — geniş tətbiq olunan üsuldur. ab\frac{a}{\sqrt{b}} tipli kəsr üçün surəti və məxrəci eyni kökə (b\sqrt{b}-yə) vurmaq kifayətdir: ab=a⋅bb⋅b=abb\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}. Nəticə surətdə kök saxlayır, amma məxrəc tam ədəd olur.

ab±c\frac{a}{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}} tipli kəsrlərdə isə üsul daha maraqlıdır: surəti və məxrəci qoşma vuruqla — yəni məxrəclə işarəsi əks olan ifadə ilə — vururuq. Qoşma vuruqlar fərqinin kvadratı düsturu verdiyi üçün məxrəcdəki kök ifadəsi ixtisar olunur: (b+c)(b−c)=b−c(\sqrt{b} + \sqrt{c})(\sqrt{b} - \sqrt{c}) = b - c. Bu şəkildə irrasionallıq tamamən məxrəcdən çıxarılır.

📌Nümunə

Məsələn: 13+1\frac{1}{\sqrt{3} + 1} kəsrini rasionallaşdırmaq üçün surəti və məxrəci (3−1)(\sqrt{3} - 1)-ə vururuq: 1⋅(3−1)(3+1)(3−1)=3−13−1=3−12\frac{1 \cdot (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}.

Əsas terminlər

Məxrəcin rasionallaşdırılması — Məxrəcdə olan irrasional ifadəni (kvadrat kökü) tam ədədə çevirmə üsulu; surət kök saxlaya bilər, məxrəc tam olur.
İrrasional ifadə — Tərkibində b\sqrt{b} kimi kvadrat kök olan və hesablanması çətin olan ifadə.
Qoşma vuruq — Məxrəclə eyni ifadədir, lakin ortadakı işarəsi əksdir: b+c\sqrt{b} + \sqrt{c}-nin qoşması b−c\sqrt{b} - \sqrt{c}-dir.
Kvadratlar fərqi düsturu — Qoşma vuruqların hasilini sadələşdirən qayda: (b+c)(b−c)=b−c(\sqrt{b} + \sqrt{c})(\sqrt{b} - \sqrt{c}) = b - c.
Sadələşdirmə — Rasionallaşdırmadan sonra surət və məxrəcdəki ümumi vuruqları ixtisar etmə, məsələn 51010=102\frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}.
Rasionallaşdırma qaydaları
Kəsrin tipiNəyə vururuqNəticə
ab\frac{a}{\sqrt{b}}b\sqrt{b}abb\frac{a\sqrt{b}}{b}
ab+c\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}b−c\sqrt{b} - \sqrt{c}a(b−c)b−c\frac{a(\sqrt{b} - \sqrt{c})}{b - c}
ab−c\frac{a}{\sqrt{b} - \sqrt{c}}b+c\sqrt{b} + \sqrt{c}a(b+c)b−c\frac{a(\sqrt{b} + \sqrt{c})}{b - c}

Qoşma vuruq həmişə məxrəclə eyni ifadədir, ancaq işarəsi əksdir.

Tək kökün rasionallaşdırılması — nümunələr
KəsrSurəti ×\times kökSadə nəticə
12\frac{1}{\sqrt{2}}22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}
55\frac{5}{\sqrt{5}}555\frac{5\sqrt{5}}{5}5\sqrt{5}
62\frac{6}{\sqrt{2}}622\frac{6\sqrt{2}}{2}323\sqrt{2}
155\frac{15}{\sqrt{5}}1555\frac{15\sqrt{5}}{5}353\sqrt{5}

Surəti və məxrəci kökə vurub, sonra məxrəclə ixtisar et.

✎510\frac{5}{\sqrt{10}} kəsrini rasionallaşdır
  1. 1Kökə vur: Surəti və məxrəci 10\sqrt{10}-a vururuq: 510=5⋅1010⋅10\frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}.
  2. 2Məxrəci hesabla: 10⋅10=10\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 10, deməli 51010\frac{5\sqrt{10}}{10} alınır.
  3. 3İxtisar et: Surət və məxrəci 55-ə bölürük: 51010=102\frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}.
  4. 4Cavab: 510=102\frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}.
✎43+1\frac{4}{\sqrt{3} + 1} kəsrini qoşma vuruqla rasionallaşdır
  1. 1Qoşma vuruğu tap: Məxrəc 3+1\sqrt{3} + 1, qoşması işarəsi əks olan 3−1\sqrt{3} - 1-dir.
  2. 2Surət və məxrəci vur: 43+1=4(3−1)(3+1)(3−1)\frac{4}{\sqrt{3} + 1} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}.
  3. 3Məxrəci sadələşdir: (3+1)(3−1)=3−1=2(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = 3 - 1 = 2, deməli 4(3−1)2\frac{4(\sqrt{3} - 1)}{2}.
  4. 4İxtisar et və cavab: 42=2\frac{4}{2} = 2, ona görə nəticə 2(3−1)2(\sqrt{3} - 1)-dir.
🚫Tez-tez səhv

Qoşma vuruqla vurub məxrəci hesabladıqdan sonra alınan tam ədədə bölməyi unutma: (3+1)(3−1)=2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 2, ona görə 43+1=2(3−1)\frac{4}{\sqrt{3}+1} = 2(\sqrt{3}-1)-dir, 4(3−1)4(\sqrt{3}-1) deyil.

⚠️Diqqət

Qoşma vuruqda işarəni dəyişməyi unutma: 5−1\sqrt{5} - 1-in qoşması 5+1\sqrt{5} + 1-dir; surətdə işarə əks olmalıdır.

🚫Tez-tez səhv

Kökə vurduqdan sonra surətdə əmsalla məxrəci düzgün ixtisar et: 51010=102\frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}-dir (22-yə bölünür), 105\frac{\sqrt{10}}{5} deyil.

💡Qeyd

Məxrəcdə əmsal varsa onu da nəzərə al: 123\frac{1}{2\sqrt{3}}-də 3\sqrt{3}-ə vurduqda məxrəc 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 olur, nəticə 36\frac{\sqrt{3}}{6}-dır.

⚠️Diqqət

Rasionallaşdırmadan əvvəl mümkünsə kökü sadələşdir: 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3}, 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2} — bu hesablamanı asanlaşdırır.

Qaydalar

  1. 1ab\frac{a}{\sqrt{b}} kəsrini rasionallaşdırmaq üçün surəti və məxrəci b\sqrt{b}-yə vur: ab=abb\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}.
  2. 2ab+c\frac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} kəsrini rasionallaşdırmaq üçün qoşma vuruqla vur: a(b−c)(b+c)(b−c)=a(b−c)b−c\frac{a(\sqrt{b} - \sqrt{c})}{(\sqrt{b} + \sqrt{c})(\sqrt{b} - \sqrt{c})} = \frac{a(\sqrt{b} - \sqrt{c})}{b - c}.
  3. 3Qoşma vuruq məxrəcdəki kökü tam ədədə çevirir, çünki (b+c)(b−c)=b−c(\sqrt{b} + \sqrt{c})(\sqrt{b} - \sqrt{c}) = b - c.
  4. 4Rasionallaşdırdıqdan sonra nəticəni tam sadələşdir: surət və məxrəcdəki ümumi vuruqları ixtisar et.
  5. 5Məxrəc sıfıra bərabər olmadığından əmin ol: b−c≠0b - c \neq 0, yəni b≠c\sqrt{b} \neq \sqrt{c}.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq