m8-2.2· Fəsil 2: Kvadrat köklər· ~13 dəq

Kök altında çevrilmələr (a√b)

Vuruğu kök işarəsindən çıxarmaq və daxil etmək.

Kvadrat kökün sadələşdirilməsinin əsası kökün vuruğa görə ayrılma xassəsinə söykənir: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ , burada $a \ge 0$ və $b \ge 0$ . Bir ədədi kök işarəsi altından çıxarmaq üçün kök altındakı ifadəni iki vuruğa ayrırlar — biri tam kvadrat, digəri isə tam kvadrat olmayan; sonra tam kvadratın kökü götürülür. Məsələn, $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ .

Əksi əməliyyatda — ədədi kök işarəsinin altına salmaqda — bütöv hissə kvadrata yüksəldilərək kök altına daxil edilir: $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$ . Oxşar köklər — irrasional hissəsi eyni olan köklər — adi ədədlər kimi toplanıb-çıxarıla bilər: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$ ; lakin $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ sadələşdirilmir, çünki onlar oxşar deyil. Bu çevrilmələr riyaziyyatın bütün bölmələrində — tənliklərdən həndəsəyə qədər — istifadə olunur.

📌Nümunə

Məsələn: $\sqrt{75} - \sqrt{27} = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ .

Əsas terminlər

Kökün vuruğa görə ayrılma xassəsi —

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

(

a \ge 0

b \ge 0

); kök altındakı ədədi vuruqlara ayırıb hər birinin kökünü ayrıca götürmək olar.

Tam kvadrat vuruq — Kök altındakı ədədin

4

9

16

25

kimi tam kvadrata ayrılan hissəsi; onun kökü tam ədəd olduğu üçün kök işarəsindən çıxarılır.

Vuruğu çıxarmaq —

\sqrt{n^2 \cdot b} = n\sqrt{b}

(

n \ge 0

); tam kvadrat vuruğun kökünü götürüb kök işarəsindən kənara çıxarmaq.

Vuruğu daxil etmək —

a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}

; bütöv hissəni kvadrata yüksəldib kök işarəsi altına salmaq (çıxarmağın əksi).

Oxşar köklər — İrrasional hissəsi eyni olan köklər, məsələn

2\sqrt{3}

və

5\sqrt{3}

; adi ədədlər kimi toplanıb-çıxarıla bilər.

Sadələşdirilmiş form — Kök altında tam kvadrat vuruq qalmayan ifadə;

\sqrt{4 \cdot \ldots}

\sqrt{9 \cdot \ldots}

varsa hələ sadələşdirilməlidir.

Əsas çevrilmə düsturları

Əməliyyat	Düstur	Nümunə
Vuruğa ayırma	$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$	$\sqrt{12} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3}$
Vuruğu çıxarmaq	$\sqrt{n^2 \cdot b} = n\sqrt{b}$	$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
Vuruğu daxil etmək	$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$	$3\sqrt{2} = \sqrt{18}$
Oxşar köklər	$p\sqrt{c} + q\sqrt{c} = (p+q)\sqrt{c}$	$2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

Kök altında çevrilmələrin əsas qaydaları və nümunələri.

Tipik kök sadələşdirmələri

İfadə	Ayırma	Nəticə
$\sqrt{8}$	$\sqrt{4 \cdot 2}$	$2\sqrt{2}$
$\sqrt{18}$	$\sqrt{9 \cdot 2}$	$3\sqrt{2}$
$\sqrt{20}$	$\sqrt{4 \cdot 5}$	$2\sqrt{5}$
$\sqrt{45}$	$\sqrt{9 \cdot 5}$	$3\sqrt{5}$
$\sqrt{75}$	$\sqrt{25 \cdot 3}$	$5\sqrt{3}$

Tam kvadrat vuruğu ayırmaqla sadələşdirmə nümunələri.

✎

\sqrt{12} + \sqrt{27}

ifadəsini sadələşdirin

1Birinci kökü ayır: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ .
2İkinci kökü ayır: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ .
3Oxşar kökləri topla: Hər ikisinin irrasional hissəsi $\sqrt{3}$ -dür: $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ .
4Cavab: $\sqrt{12} + \sqrt{27} = 5\sqrt{3}$ .

✎

(\sqrt{2} + \sqrt{8})^2

ifadəsinin qiymətini tapın

1Daxildəki kökü sadələşdir: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ .
2Oxşar kökləri topla: $\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ .
3Kvadrata yüksəlt: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2$ .
4Cavab: $9 \cdot 2 = 18$ .

🚫Tez-tez səhv

Köklər birbaşa toplanmır: $\sqrt{12} + \sqrt{27} \neq \sqrt{39}$ . Əvvəlcə hər kökü sadələşdirib oxşar hissəni toplayın: nəticə $5\sqrt{3}$ -dür.

🚫Tez-tez səhv

$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ . $(\sqrt{2} + \sqrt{8})^2$ -də cross-term unudulmamalı; düzgün yol $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ yazıb $(3\sqrt{2})^2 = 18$ almaqdır.

⚠️Diqqət

Vuruğu daxil edəndə yalnız bütöv hissə kvadrata yüksəlir: $5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{50}$ , $\sqrt{10}$ deyil.

⚠️Diqqət

$\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$ ( $a>0$ ): tam kvadratın kökü qüvvəti $2$ -dən $1$ -ə endirir; nəticə $a^2\sqrt{b}$ deyil.

💡Qeyd

Sadələşmənin yoxlanışı: kök altında $\sqrt{4 \cdot \ldots}$ , $\sqrt{9 \cdot \ldots}$ , $\sqrt{16 \cdot \ldots}$ kimi tam kvadrat vuruq qalıbsa, ifadə hələ sadələşdirilməlidir.

Qaydalar

1Kökün vuruğa görə ayrılma xassəsi: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ( $a \ge 0$ , $b \ge 0$ ); kök altındakı ədədi tam kvadrat vuruqlara ayırın.
2Vuruğu kök işarəsindən çıxarmaq üçün tam kvadrat vuruğun kökünü götürün: $\sqrt{n^2 \cdot b} = n\sqrt{b}$ ( $n \ge 0$ ).
3Ədədi kök işarəsinin altına salmaq üçün onu kvadrata yüksəldin: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ .
4Oxşar köklər (irrasional hissəsi eyni olanlar) toplanıb-çıxarıla bilər: $p\sqrt{c} + q\sqrt{c} = (p+q)\sqrt{c}$ ; oxşar olmayan köklər birləşdirilmir.
5Sadələşdirilmiş formada kök altında tam kvadrat vuruq qalmamalıdır; hər köklü ifadəni yoxlayın: $\sqrt{4 \cdot \ldots}$ , $\sqrt{9 \cdot \ldots}$ , $\sqrt{16 \cdot \ldots}$ varsa — sadələşdirin.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq