m8-2.1· Fəsil 2: Kvadrat köklər· ~13 dəq

Kvadrat kök və hesabi kök

Hesabi kvadrat kök anlayışı və qiymətləndirmə.

Müsbət $a$ ədədinin kvadrat kökü ( $\sqrt{a}$ ) elə müsbət $b$ ədədidir ki, $b^2 = a$ olsun. Bu köklə yanaşı, sıfırın kvadrat kökü də sıfırdır: $\sqrt{0} = 0$ . Hesabi kvadrat kök həmişə mənfi olmayan bir qiymət verir, çünki tərif gereyi biz yalnız müsbət və ya sıfır olan nəticəni qəbul edirik. Mənfi ədədin kvadrat kökü isə real ədədlər çərçivəsində mövcud deyil.

Xüsusi bir qayda kimi, $\sqrt{a^2} = |a|$ olduğunu yadda saxlamaq lazımdır: məsələn, $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$ , yəni nəticə $5$ -dir, $-5$ deyil. Tam kvadrat olmayan ədədlər üçün kökün hansı iki tam ədəd arasında yerləşdiyini müəyyən etmək vacibdir: bunun üçün verilmiş ədəddən kiçik və böyük ən yaxın tam kvadratları tapıb müqayisə edirik.

📌Nümunə

Məsələn: $\sqrt{50}$ hansı iki tam ədəd arasındadır? $7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2$ olduğundan, $\sqrt{50}$ ədədi $7$ ilə $8$ arasındadır.

Əsas terminlər

Hesabi kvadrat kök — Müsbət

a

ədədinin kvadrat kökü

\sqrt{a}

elə mənfi olmayan

b

ədədidir ki,

b^2 = a

olsun.

\sqrt{0}

— Sıfırın kvadrat kökü sıfırdır:

\sqrt{0} = 0

Mənfi ədədin kökü — Mənfi ədədin kvadrat kökü real ədədlər çərçivəsində mövcud deyil.

Tam kvadrat — Kökü tam ədəd olan ədəd; məsələn

\sqrt{49}=7

\sqrt{100}=10

\sqrt{a^2}=|a|

— Kökün altında kvadrat olan ifadənin kökü mütləq qiymətə bərabərdir; məsələn

\sqrt{(-5)^2}=5

Qiymətləndirmə —

n^2 < a < (n+1)^2

olarsa,

n < \sqrt{a} < n+1

olur; kökü əhatə edən iki ardıcıl tam ədədi tapmaq.

Tam kvadratların kökləri

Ədəd	Kök	Ədəd	Kök
$0$	$0$	$36$	$6$
$1$	$1$	$49$	$7$
$4$	$2$	$64$	$8$
$9$	$3$	$81$	$9$
$16$	$4$	$100$	$10$
$25$	$5$	$144$	$12$

Bu qiymətləri əzbər bilmək kök hesablamalarını sürətləndirir.

Əsas xassələr və nümunələr

Qayda	Nümunə
$(\sqrt{a})^2 = a$	$(\sqrt{7})^2 = 7$
$\sqrt{a^2} = \|a\|$	$\sqrt{(-6)^2} = 6$
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$	$\sqrt{2}\cdot\sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$
$\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$	$\sqrt{48} : \sqrt{3} = \sqrt{16} = 4$
Mənfi ədədin kökü yoxdur	$\sqrt{-9}$ real ədəd deyil

Kvadrat köklərlə əməllərdə işlədilən əsas qaydalar.

✎

\sqrt{50}

hansı iki tam ədəd arasındadır?

1Yaxın tam kvadratları tap: $50$ -yə ən yaxın tam kvadratlar: $49 = 7^2$ və $64 = 8^2$ .
2Bərabərsizliyi qur: $7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2$ .
3Kökü al: Bütün tərəflərdən kök alsaq: $7 < \sqrt{50} < 8$ .
4Nəticə: $\sqrt{50}$ ədədi $7$ ilə $8$ arasındadır.

✎

\sqrt{8} + \frac{6}{\sqrt{2}}

ifadəsini sadələşdir

1Birinci kökü sadələşdir: $\sqrt{8} = \sqrt{4\cdot 2} = 2\sqrt{2}$ .
2Məxrəci rasionallaşdır: $\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ .
3Oxşar hədləri topla: $2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ .
4Nəticə: $\sqrt{8} + \frac{6}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$ .

🚫Tez-tez səhv

$\sqrt{a^2} = |a|$ olduğunu unutma: $\sqrt{(-7)^2} = 7$ , yəni $-7$ deyil. $\sqrt{x^2}$ ifadəsi $x$ deyil, $|x|$ -ə bərabərdir.

🚫Tez-tez səhv

$\sqrt{49}$ -un cavabı $-7$ deyil: $(-7)^2 = 49$ olsa da, hesabi kök tərif gereyi yalnız müsbət qiymət götürür.

⚠️Diqqət

Köklər birbaşa toplanmır: $\sqrt{20} + \sqrt{45} \neq \sqrt{65}$ . Əvvəlcə hər kökü $a\sqrt{b}$ formasına gətir: $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$ .

⚠️Diqqət

$\sqrt{a^2-6a+9}$ tipli ifadədə şərtə diqqət et: $a<3$ olduqda $\sqrt{(a-3)^2} = |a-3| = 3-a$ , çünki hesabi kök mənfi ola bilməz.

💡Qeyd

$n^2 < a < (n+1)^2$ olarsa $n < \sqrt{a} < n+1$ olur: tam kvadrat olmayan kökü qiymətləndirmək üçün ən yaxın iki tam kvadratı tap.

Qaydalar

1 $\sqrt{a}$ anlayışı: müsbət $a$ üçün $\sqrt{a} \ge 0$ və $(\sqrt{a})^2 = a$ ; mənfi ədədlərin real kvadrat kökü yoxdur.
2Tam kvadratların kökü tam ədəddir: $\sqrt{0}=0$ , $\sqrt{1}=1$ , $\sqrt{4}=2$ , $\sqrt{9}=3$ , $\sqrt{16}=4$ , $\sqrt{25}=5$ , $\sqrt{36}=6$ , $\sqrt{49}=7$ , $\sqrt{64}=8$ , $\sqrt{81}=9$ , $\sqrt{100}=10$ .
3 $\sqrt{a^2} = |a|$ : altında kvadrat olan ifadənin kökü mütləq qiymətə bərabərdir; məsələn $\sqrt{(-7)^2} = 7$ .
4Qiymətləndirmə qaydası: $n^2 < a < (n+1)^2$ olarsa, $n < \sqrt{a} < n+1$ olur; yəni kökü əhatə edən iki ardıcıl tam ədədi tapmaq üçün ən yaxın tam kvadratları müəyyən et.
5Hesabi kök həmişə mənfi olmayan qiymət verir: $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ge 0$ olur; distraksiyalara qarşı işarəyə diqqət et.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq