m8-c11· Bölmə 3. Kvadrat tənliklər· ~10 dəq

Tam kvadrat ayırmaqla kvadrat tənliklərin həlli

İkihədlini tam kvadrata tamamlayaraq kvadrat tənliklərin necə həll edildiyini öyrən.

Bu dərsdə kvadrat tənlikləri tam kvadrat ayırma üsulu ilə həll etməyi öyrənəcəksən. $x^2+bx$ şəklində ikihədliyə $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ həddi əlavə edilsə, ifadə tam kvadrata tamamlanır: $x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$ . Kvadrat tənliyi bu üsulla həll etmək üçün əvvəlcə sərbəst hədd tənliyin sağ tərəfinə keçirilir, sonra hər iki tərəfə $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ həddi əlavə olunur və sol tərəf tam kvadrata çevrilir. Alınan $\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=m$ tənliyindən $x+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{m}$ yazılıb, işarəsindən yaranan iki qiymətdən tənliyin hər iki kökü tapılır. Əgər tənlikdə $x^2$ -in əmsalı $1$ -dən fərqlidirsə, əvvəlcə tənliyin hər iki tərəfi bu əmsala, yəni birinci əmsala bölünür, sonra eyni qayda tətbiq edilir. Bu üsul mürəkkəb faiz artımı kimi praktik məsələlərdə də tətbiq olunur; belə məsələlərdə tənliyin bir neçə kökü tapılsa da, yalnız məsələnin şərtinə (məsələn, faiz mənfi ola bilməz) uyğun olanı cavab kimi götürülür. Bu üsulu ilk dəfə əl-Xarəzmi tətbiq etmiş, lakin mənfi kökü nəzərə almadan cavabı yalnız müsbət kök kimi yazmışdır.

📌Nümunə

Məsələn: $x^2-5x-6=0$ tənliyini $x^2-5x=6$ şəklində yazıb hər iki tərəfə $\left(\frac{5}{2}\right)^2$ həddini əlavə etsək, $\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{49}{4}$ alınır və buradan $x_1=6$ , $x_2=-1$ tapılır.

Əsas terminlər

Tam kvadrat ayırma üsulu —

x^2+bx

şəklindəki ikihədliyə

\left(\frac{b}{2}\right)^2

həddini əlavə edərək onu tam kvadrata, yəni

\left(x+\frac{b}{2}\right)^2

şəklinə salma üsulu.

Tam kvadrat — Bir ikihədlinin kvadratı şəklində yazıla bilən ifadə, məsələn

(x+3)^2

İkihədli — İki həddən ibarət cəbri ifadə, məsələn

x^2+6x

Birinci əmsal — Kvadrat tənlikdə

x^2

həddinin əmsalı; tənliyin hər iki tərəfi bu əmsala bölünərək tənlik sadələşdirilə bilər.

Tam kvadrata tamamlamaq üçün əlavə edilən hədd

$x^2+bx$ ifadəsi	$b$	$\left(\frac{b}{2}\right)^2$
$x^2+4x$	$4$	$4$
$x^2+10x$	$10$	$25$
$x^2-12x$	$-12$	$36$
$x^2+3x$	$3$	$2{,}25$

✎Nümunə:

x^2-5x-6=0

tənliyinin həlli

1Tənliyi çevirmək: $x^2-5x-6=0$ tənliyini $x^2-5x=6$ şəklində yazaq.
2Tam kvadrata tamamlamaq: Hər iki tərəfə $\left(\frac{5}{2}\right)^2$ həddini əlavə edək: $x^2-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^2=6+\left(\frac{5}{2}\right)^2$ , yəni $\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{49}{4}$ .
3Kökləri tapmaq: $x-\frac{5}{2}=\pm\frac{7}{2}$ yazıb, $x_1=\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=6$ , $x_2=\frac{5}{2}-\frac{7}{2}=-1$ tapırıq.

💡Qeyd

Tənliyin iki kökü ola bilər: əl-Xarəzminin $x^2+10x=39$ tənliyini həll edərkən etdiyi kimi, mənfi kökü rədd etməzdən əvvəl onun məsələnin şərtinə uyğun olub-olmadığını yoxla.

⚠️Diqqət

Kvadrat tənlikdə $x^2$ -in əmsalı $1$ -dən fərqlidirsə, tam kvadrat ayırmadan əvvəl tənliyin hər iki tərəfini bu əmsala bölməyi unutma.

Qaydalar

1 $x^2+bx$ şəklindəki ikihədliyə $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ həddi əlavə edilsə, ifadə tam kvadrata tamamlanır: $x^2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2$ .
2Kvadrat tənliyi tam kvadrat ayırma üsulu ilə həll etmək üçün əvvəlcə sərbəst hədd tənliyin sağ tərəfinə keçirilir, sonra hər iki tərəfə $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ həddi əlavə olunur.
3 $\left(x+\frac{b}{2}\right)^2=m$ tənliyindən $x+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{m}$ yazılıb, tənliyin iki kökü tapılır.
4Kvadrat tənlikdə $x^2$ -in əmsalı $1$ -dən fərqlidirsə, tam kvadrat ayırmadan əvvəl tənliyin hər iki tərəfi bu əmsala, yəni birinci əmsala bölünür.
5Tam kvadrat ayırma üsulunu ilk dəfə əl-Xarəzmi tətbiq etmişdir.
6Tənliyin bir neçə kökü tapılsa da, məsələnin şərtinə (məsələn, faiz mənfi ola bilməz) uyğun olmayan kök cavab kimi götürülmür.

Məşq

4 asan · 4 orta · 4 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq