m8-c46· Bölmə 9. Bərabərsizliklər· ~12 dəq

Bərabərsizliklərin xassələri

Bərabərsizliyin hər iki tərəfinə ədəd əlavə etdikdə, çıxdıqda, vurduqda və ya böldükdə işarənin necə dəyişdiyini öyrənirik

Bərabərsizliklərin xassələri bərabərsizliyin hər iki tərəfi üzərində əməliyyat apardıqda onun doğruluğunun necə qorunduğunu göstərir. Bərabərsizliyin hər iki tərəfinə eyni ədəd əlavə etdikdə və ya hər iki tərəfdən eyni ədəd çıxdıqda, bərabərsizliyin işarəsi heç vaxt dəyişmir, bu, ədədin özü müsbət, mənfi və ya sıfır olmasından asılı deyil. Bərabərsizliyin hər iki tərəfini eyni müsbət ədədə vurduqda və ya böldükdə də işarə dəyişmir, lakin eyni mənfi ədədə vurduqda və ya böldükdə bərabərsizliyin işarəsi mütləq əksinə dönür. Bu qaydalardan istifadə edərək verilmiş bərabərsizlikdə naməlum ədədin işarəsini də müəyyən etmək olar, məsələn $3a>2a$ bərabərsizliyindən $a>0$ nəticəsi çıxır. Müsbət ədədlər üçün böyük ədədin tərsi kiçik ədədin tərsindən kiçik olur, yəni $a>b>0$ olduqda $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ alınır. Bu xassələr məsələləri bərabərsizliklə həll etməyə, yəni dəyişənin ala biləcəyi bütün mümkün qiymətləri tapmağa imkan verir. Həmçinin, müsbət ədədlərin cəmi sabit qaldıqda hasilin nə vaxt ən böyük olacağını, ədədi ortanın həndəsi ortadan heç vaxt kiçik olmadığını da bu xassələr vasitəsilə əsaslandırmaq mümkündür.

📌Nümunə

Məsələn: $398 + m \le 650$ bərabərsizliyinin hər iki tərəfindən $398$ çıxsaq, $m \le 252$ alınır.

Əsas terminlər

Bərabərsizliyin xassəsi — Bərabərsizliyin hər iki tərəfinə eyni ədəd əlavə etdikdə, çıxdıqda, yaxud hər iki tərəfini eyni ədədə vurduqda və ya böldükdə bərabərsizliyin doğru qalıb-qalmadığını göstərən qayda.

Ədədi orta — Ədədlərin cəminin onların sayına nisbəti; iki ədəd üçün

\frac{a+b}{2}

Həndəsi orta — Mənfi olmayan iki ədədin həndəsi ortası onların hasilinin kvadrat kökünə bərabərdir:

\sqrt{ab}

Sabit cəm haqqında teorem — Cəmi sabit qalan iki müsbət ədədin hasili onlar bir-birinə bərabər olduqda ən böyük qiymətini alır.

Bərabərsizliyin hər iki tərəfi üzərində əməliyyatlar

Əməliyyat	Şərt	Nəticə
Eyni ədəd əlavə etmək və ya çıxmaq	$c$ istənilən ədəd	İşarə dəyişmir: $a>b \Rightarrow a+c>b+c$
Eyni ədədə vurmaq və ya bölmək	$c>0$	İşarə dəyişmir: $a>b \Rightarrow ac>bc$
Eyni ədədə vurmaq və ya bölmək	$c<0$	İşarə əksinə dönür: $a>b \Rightarrow ac<bc$

✎Bərabərsizliklə məsələ həlli

1Şərti bərabərsizliklə yazaq: Dəniz ayısının indiki kütləsi $398$ kq-dır, o, ən çoxu $650$ kq-a çata bilər. Yığa biləcəyi kütləni $m$ ilə işarə etsək: $398 + m \le 650$ .
2Hər iki tərəfdən $398$ çıxaq: $398 - 398 + m \le 650 - 398 \Rightarrow m \le 252$ .
3Nəticəni yazaq: Dəniz ayısı ən çoxu $252$ kq kütlə yığa bilər.

⚠️Diqqət

Bərabərsizliyin hər iki tərəfini mənfi ədədə vurarkən və ya bölərkən bərabərsizlik işarəsini mütləq əksinə dəyişdirin, əks halda nəticə səhv olar.

💡Qeyd

Bərabərsizliyin hər iki tərəfinə istənilən ədəd (müsbət, mənfi və ya sıfır) əlavə etsəniz və ya çıxsanız, bərabərsizliyin işarəsi heç vaxt dəyişmir.

Qaydalar

1Bərabərsizliyin hər iki tərəfinə eyni ədəd əlavə etdikdə və ya hər iki tərəfdən eyni ədəd çıxdıqda bərabərsizliyin işarəsi dəyişmir.
2Bərabərsizliyin hər iki tərəfini eyni müsbət ədədə vurduqda və ya böldükdə bərabərsizliyin işarəsi dəyişmir.
3Bərabərsizliyin hər iki tərəfini eyni mənfi ədədə vurduqda və ya böldükdə bərabərsizliyin işarəsi əksinə dönür.
4 $a>b>0$ olarsa, $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ olur — müsbət ədədlərin tərsini alarkən böyük ədəd kiçik tərsə çevrilir.
5Cəmi sabit qalan iki müsbət ədədin hasili onlar bir-birinə bərabər olduqda ən böyük qiymətini alır.
6Mənfi olmayan iki ədəd üçün ədədi orta heç vaxt həndəsi ortadan kiçik olmur: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ .

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq