m7-13.5· Bölmə 8. Xətti tənliklər sistemi· ~13 dəq

Sistem qurmaqla məsələ həlli

Mətn məsələsinin iki dəyişənli tənliklər sisteminə çevrilərək həll edilməsi.

Sistem qurmaqla mətn məsələlərinin həlli adətən iki naməlum kəmiyyətin tapılmasını tələb edir. İlk addım dəyişənləri seçməkdir; məsələdə nəyi tapmaq lazımdırsa, onları uyğun hərflərlə işarə edirik (məsələn, xx birinci ədəd, yy ikinci ədəd). Sonra mətndə verilən şərtləri riyazi tənliklərə çevirib iki dəyişənli iki tənlikdən ibarət sistem alırıq. Bu sistemi toplama, çıxma və ya əvəzetmə üsulu ilə həll edərək naməlumları tapırıq. Nəhayət, alınan qiymətləri məsələnin şərtlərinə uyğun yoxlayırıq — cavab mənfi, kəsr və ya mənasız ola bilməz. Xüsusilə yaş, ədəd, qarışıq, qiymət kimi məsələlərdə cavabın reallığa uyğunluğu vacibdir.

📌Nümunə

Məsələn: ‘İki ədədin cəmi 15, fərqi 3-dür. Bu ədədləri tapın.’ Burada xx birinci ədəd, yy ikinci ədəd olsa, sistem {x+y=15x−y=3\begin{cases} x+y=15 \\ x-y=3 \end{cases} şəklində yazılır. Həllindən x=9x=9, y=6y=6 alınır.

Əsas terminlər

Dəyişən seçimi — Məsələdə tapılması tələb olunan naməlum kəmiyyətlərə xx, yy kimi hərflər ayırmaq.
Şərtin tənliyə çevrilməsi — Mətndəki riyazi əlaqənin (cəm, fərq, hasil, mislik) tənlik şəklində yazılması.
Sistem qurma — Məsələnin şərtlərindən alınan iki tənlikdən ibarət ikidəyişənli xətti tənliklər sistemi.
Cavabın uyğunluğunun yoxlanması — Tapılan x,yx,y qiymətlərinin məsələnin şərtinə (müsbətlik, tamlıq və s.) uyğun olub-olmadığının yoxlanması.
Mislik münasibəti — 'Böyük ədəd kiçiyin nn mislidir' ifadəsi x=nyx=ny tənliyi ilə göstərilir (vurma münasibəti).
Fərq münasibəti — 'Böyük ədəd kiçikdən nn vahid çoxdur' ifadəsi x=y+nx=y+n tənliyi ilə göstərilir (toplama/çıxma münasibəti).
Mətn ifadəsindən tənliyə keçid
Mətn ifadəsiTənlik
iki ədədin cəmi ss-dirx+y=sx+y=s
iki ədədin fərqi ff-dirx−y=fx-y=f
böyük ədəd kiçiyin nn mislidirx=nyx=ny
böyük ədəd kiçikdən nn vahid çoxdurx=y+nx=y+n
düzbucaqlının perimetri PP-dir2x+2y=P2x+2y=P

'Mislik' vurmaya, 'vahid artıq/az' isə toplama-çıxmaya aiddir — bu ikisini qarışdırma.

Məsələ növünə görə modelləşdirmə
Məsələ növüModelləşdirmə xüsusiyyəti
ədəd məsələləricəm/fərq/mislik şərtləri birbaşa tənlik olur
qarışıq (faiz, qiymət) məsələlərimiqdar tənliyi (x+y=x+y=cəm) və dəyər/faiz tənliyi (ax+by=ax+by=ümumi) birlikdə qurulur
hərəkət məsələləriyol/sürət/vaxt əlaqəsindən adətən vaxt cəmi və məsafə cəmi tənlikləri alınır
yaş məsələləriindiki yaş fərqi və müəyyən il sonra/əvvəl olan nisbət iki tənlik verir

Məsələ növü dəyişsə də, addımlar eynidir: dəyişən seç, şərtləri tənliyə çevir, sistemi həll et.

✎Cəm və fərq şərtindən sistem qurma
  1. 1Verilir: "İki ədədin cəmi 15, fərqi 3-dür. Bu ədədləri tapın." məsələsini sistem qurmaqla həll etmək lazımdır.
  2. 2Dəyişən seçimi: xx — birinci (böyük) ədəd, yy — ikinci (kiçik) ədəd olsun.
  3. 3Sistem qurma: Cəm şərtindən x+y=15x+y=15; fərq şərtindən x−y=3x-y=3.
  4. 4Toplama üsulu ilə həll: (x+y)+(x−y)=15+3  ⟹  2x=18  ⟹  x=9(x+y)+(x-y)=15+3 \implies 2x=18 \implies x=9.
  5. 5yy-in tapılması: 9+y=15  ⟹  y=69+y=15 \implies y=6.
  6. 6Yoxlama: Cəm: 9+6=159+6=15 ✓. Fərq: 9−6=39-6=3 ✓ — hər iki şərt ödənir.
  7. 7Nəticə: Axtarılan ədədlər 99 və 66-dır.
✎Yaş məsələsinin sistemlə həlli
  1. 1Verilir: "Atanın yaşı oğlunun yaşından 30 yaş böyükdür. 5 ildən sonra atanın yaşı oğlunun yaşının 3 misli olacaq." Atanın indiki yaşını tapmaq lazımdır.
  2. 2Dəyişən seçimi: xx — atanın indiki yaşı, yy — oğlunun indiki yaşı olsun.
  3. 3Sistem qurma: "30 yaş böyükdür" şərtindən x=y+30x=y+30; "5 ildən sonra 3 misli olacaq" şərtindən x+5=3(y+5)x+5=3(y+5).
  4. 4Əvəzetmə: Birinci tənliyi ikincidə yerinə yazırıq: (y+30)+5=3(y+5)(y+30)+5=3(y+5).
  5. 5Sadələşdirmə: y+35=3y+15  ⟹  35−15=3y−y  ⟹  20=2y  ⟹  y=10y+35=3y+15 \implies 35-15=3y-y \implies 20=2y \implies y=10.
  6. 6xx-in tapılması: x=y+30=10+30=40x=y+30=10+30=40.
  7. 7Yoxlama: İndiki fərq: 40−10=3040-10=30 ✓. 5 ildən sonra: ata 4545, oğul 1515, və 45=3⋅1545=3\cdot 15 ✓.
  8. 8Nəticə: Atanın indiki yaşı 4040-dır.
🚫Tez-tez səhv

'nn mislidir' (vurma münasibəti, x=nyx=ny) ilə 'nn vahid artıqdır' (toplama münasibəti, x=y+nx=y+n) ifadələrini qarışdırmaq geniş yayılmış səhvdir — 'mislik' HƏMİŞƏ vurmaya, 'vahid artıq/az' isə toplama və ya çıxmaya aiddir.

🚫Tez-tez səhv

Cəm və fərq şərtlərinin ədədlərini yerini dəyişmək (məs. cəmi 2020 əvəzinə 44 yazmaq) sistemi tamamilə dəyişir — mətndəki hər ədədin hansı şərtə (cəm, fərq, hasil) aid olduğunu diqqətlə oxu.

⚠️Diqqət

Tapılan (x,y)(x,y) cavabını mütləq məsələnin şərtinə uyğunluğuna görə yoxla: yaş, say və qiymət mənfi və ya kəsr ola bilməz — belə nəticə hesablama səhvindən xəbər verir.

💡Qeyd

'Böyük ədəd' və 'kiçik ədəd' üçün dəyişən seçərkən hansının böyük olduğunu əvvəlcədən müəyyənləşdir, yoxsa fərq tənliyinin işarəsini (məs. x−y=fx-y=f yoxsa y−x=fy-x=f) səhv yaza bilərsən.

Qaydalar

  1. 1Məsələdə tapılması tələb olunan kəmiyyətlərə uyğun dəyişənlər seçin (məsələn, xx və yy).
  2. 2Mətndəki hər bir şərti (cəm, fərq, hasil, əlaqə və s.) tənlik şəklində yazın.
  3. 3Alınan iki tənlikdən ibarət sistemi toplama, çıxma və ya əvəzetmə üsulu ilə həll edin.
  4. 4Tapılan xx və yy qiymətlərinin məsələnin şərtlərinə uyğun olub-olmadığını yoxlayın.
  5. 5Cavabın mənfi, sıfır, kəsr və ya mənasız çıxmadığına əmin olun; xüsusilə yaş, say, pul məsələlərində yalnız müsbət tam ədədlər ola bilər.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq