m7-13.1· Bölmə 8. Xətti tənliklər sistemi· ~12 dəq

İkidəyişənli xətti tənliklər sistemi

İki tənlikdən ibarət sistemin tək, sonsuz və ya heç bir həllinin olması.

Bu mövzuda iki məchullu iki xətti tənlikdən ibarət sistemin həllərinin sayı öyrənilir. Sistemin həlli dedikdə, hər iki tənliyi eyni zamanda ödəyən (x, y) qiymətlər cütü nəzərdə tutulur. Əgər sistemin yalnız bir belə cütü varsa, sistem uyuşan müəyyən sistem adlanır. Tənliklərin qrafikləri kəsişən düz xətlərdir. Əgər tənliklərin hər iki tərəfi eyni nisbətdədirsə və sərbəst hədlər də bu nisbəti ödəyirsə, sistem sonsuz sayda həllə malik uyuşan qeyri-müəyyən sistem olur; qrafiklər üst-üstə düşür. Nisbət bərabər olduğu halda sərbəst hədlər fərqlidirsə, sistem uyuşmayandır – heç bir həlli yoxdur; qrafiklər paraleldir. Bu fərqləndirmə tənliklərin əmsallarının müqayisəsi ilə aparılır.

📌Nümunə

Məsələn: $\begin{cases} 2x+y=5 \\ 4x+2y=10 \end{cases}$ sistemində ikinci tənlik birincinin 2 mislinə bərabərdir, ona görə sonsuz həll var.

Əsas terminlər

Xətti tənliklər sistemi — İki (və ya daha çox) xətti tənlikdən ibarət, ortaq həlli axtarılan tənliklər qrupu.

Sistemin həlli — Sistemdəki hər iki tənliyi EYNİ ZAMANDA ödəyən sıralı

(x,y)

qiymətlər cütü.

Uyuşan müəyyən sistem — Yalnız bir həlli olan sistem; tənliklərin qrafikləri bir nöqtədə kəsişir.

Uyuşan qeyri-müəyyən sistem — Sonsuz sayda həlli olan sistem; tənliklərin qrafikləri üst-üstə düşür.

Uyuşmayan sistem — Heç bir həlli olmayan sistem; tənliklərin qrafikləri paraleldir, heç vaxt kəsişmir.

Əmsallar nisbəti — Sistemin tipini təyin etmək üçün müqayisə edilən

\frac{a_1}{a_2}

\frac{b_1}{b_2}

\frac{c_1}{c_2}

nisbətləri.

Sistemin tipi əmsallar nisbətinə görə

Sistem tipi	Şərt (əmsallar nisbəti)	Qrafik
tək həll (uyuşan müəyyən)	$\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$	kəsişən düz xətlər
sonsuz həll (uyuşan qeyri-müəyyən)	$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$	üst-üstə düşən düz xətlər
həll yoxdur (uyuşmayan)	$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$	paralel düz xətlər

Üçüncü heç bir hal yoxdur — hər sistem bu üç tipdən yalnız birinə aiddir.

Sistemin tipinin təyini — nümunələr

Sistem	Əmsallar nisbəti	Nəticə
$2x-3y=1$ , $4x+y=5$	$\frac{2}{4} \neq \frac{-3}{1}$	tək həll
$3x+2y=7$ , $6x+4y=9$	$\frac{3}{6}=\frac{2}{4} \neq \frac{7}{9}$	həll yoxdur
$5x-y=3$ , $10x-2y=6$	$\frac{5}{10}=\frac{-1}{-2}=\frac{3}{6}$	sonsuz həll

Əmsalları müqayisə etmək üçün sistemi qrafiklə çəkmək lazım deyil.

✎Nöqtənin sistemin həlli olub-olmadığının yoxlanması

1Verilir: $(2,1)$ nöqtəsi və $\begin{cases} x+y=3 \\ 2x-y=0 \end{cases}$ sistemi verilib; nöqtənin sistemin həlli olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır.
2Birinci tənliyi yoxlama: $x+y=3$ tənliyində: $2+1=3$ — doğrudur, birinci tənlik ödənir.
3İkinci tənliyi yoxlama: $2x-y=0$ tənliyində: $2\cdot 2-1=4-1=3 \neq 0$ — doğru DEYİL, ikinci tənlik ödənmir.
4Nəticə: $(2,1)$ yalnız birinci tənliyi ödəyir, ikincini ödəmədiyi üçün sistemin həlli DEYİL — sistemin həlli olmaq üçün hər iki tənlik eyni zamanda ödənməlidir.

✎Sistemin tipinin əmsallar vasitəsilə təyini

1Verilir: $\begin{cases} 3x+2y=7 \\ 6x+4y=9 \end{cases}$ sisteminin tipini müəyyən etmək lazımdır.
2 $x$ və $y$ əmsallarının nisbəti: $\frac{a_1}{a_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ və $\frac{b_1}{b_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ — bu iki nisbət bərabərdir.
3Sərbəst hədlərin nisbəti: $\frac{c_1}{c_2}=\frac{7}{9}$ — bu, $\frac{1}{2}$ -yə bərabər DEYİL.
4Nəticə: $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ olduğundan sistem uyuşmayandır: heç bir həlli yoxdur (qrafikləri paraleldir, kəsişmir).

🚫Tez-tez səhv

$(x,y)$ cütünü yalnız BİR tənlikdə yoxlayıb 'sistemin həllidir' demək kifayət deyil — məsələn $(2,1)$ nöqtəsi $x+y=3$ -ü ödəsə də $2x-y=0$ -ı ödəmir, buna görə sistemin həlli deyil. Hər iki tənlik ayrı-ayrılıqda yoxlanmalıdır.

🚫Tez-tez səhv

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$ bərabərliyini görüb dərhal 'sonsuz həll var' demək səhvdir — sərbəst hədlərin nisbəti $\frac{c_1}{c_2}$ də yoxlanmalıdır; o fərqli olarsa, sistem əslində uyuşmayandır (həll yoxdur).

⚠️Diqqət

İkinci tənlik birincinin sadə misli kimi görünsə də (əmsallar mütənasib olsa da), sərbəst hədd bu nisbəti pozarsa, xətlər paralel olub heç vaxt kəsişmir — əmsalları müqayisə etmək kifayət etmir, sərbəst hədləri də yoxla.

💡Qeyd

Sistemin yalnız üç mümkün nəticəsi var: tək həll (kəsişmə), sonsuz həll (üst-üstə düşmə) və heç bir həll (paralellik) — dördüncü variant (məs. 'iki həll') mümkün deyil.

Qaydalar

1İki dəyişənli iki xətti tənlikdən ibarət sistemdə həll hər iki tənliyi eyni vaxtda ödəyən sıralı (x,y) cütüdür.
2Sistemin həllərinin sayı üç halda ola bilər: bir həll, sonsuz sayda həll və ya heç bir həll.
3Tənliklərin qrafikləri iki düz xəttdir: kəsişərsə – bir həll; üst-üstə düşərsə – sonsuz həll; paralel olarsa – həll yoxdur.
4Cəbri olaraq: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ olduqda bir həll; $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ olduqda sonsuz həll; $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ olduqda həll yoxdur.
5Verilmiş (x, y) cütünün sistemin həlli olub-olmadığını yoxlamaq üçün onu hər iki tənlikdə yerlərinə yazıb bərabərliyin doğruluğunu yoxlamaq lazımdır.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq