m6-3.4· Bölmə 3: Tam ədədlər· ~14 dəq

Tam ədədlərin toplanması

Eyni və müxtəlif işarəli tam ədədlərin toplanması: modul, işarə və ədəd oxu ilə.

Tam ədədlərin toplanmasını əyani başa düşmək üçün əvvəlcə mavi (+1) və qırmızı (–1) dairələrlə oynanılan bir oyun təsvir olunur: bir mavi dairə bir qırmızı dairəni “aparır”, yəni bu cüt sıfır verir və cəmi göstərmək üçün yalnız üstün gələn rəngdəki dairələr qalır. Bu modeldən sonra iki qayda ardıcıl izah olunur. «İki mənfi tam ədədin cəmini tapmaq üçün bu ədədlərin modulları toplanır və qarşısına “–” işarəsi yazılır» — məsələn, −2+(−4)-2+(-4) ifadəsində ∣−2∣=2|-2|=2, ∣−4∣=4|-4|=4, 2+4=62+4=6, deməli −2+(−4)=−6-2+(-4)=-6. Müxtəlif işarəli ədədlər üçün isə fərqli qayda işləyir: «Müxtəlif işarəli ədədləri topladıqda əvvəlcə onların modulları tapılır. Sonra böyükdən kiçiyi çıxmaqla modulların fərqi hesablanır və qarşısına modulu böyük olan ədədin işarəsi yazılır» — məsələn, 3+(−7)3+(-7) ifadəsində ∣3∣=3|3|=3, ∣−7∣=7|-7|=7, 7−3=47-3=4, modulu böyük olan −7-7 mənfi olduğundan 3+(−7)=−43+(-7)=-4. Hər iki qayda ədəd oxunda da əsaslandırılır: müsbət toplanan sağa, mənfi toplanan isə sola doğru sayılır. Bundan başqa, «Əks ədədlərin cəmi sıfıra bərabərdir» və toplamanın yerdəyişmə (a+b=b+aa+b=b+a) və qruplaşdırma (a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)) xassələri tam ədədlər üçün də doğrudur.

Qrafiklər

Ədəd oxunda tam ədədlərin toplanması: yuxarıda eyni işarəli ədədlərin toplanması, (–2) + (–4) = –6 (–2-dən 4 addım sola); aşağıda müxtəlif işarəli ədədlərin toplanması, 3 + (–7) = –4 (3-dən 7 addım sola).
Ədəd oxunda tam ədədlərin toplanması: yuxarıda eyni işarəli ədədlərin toplanması, (–2) + (–4) = –6 (–2-dən 4 addım sola); aşağıda müxtəlif işarəli ədədlərin toplanması, 3 + (–7) = –4 (3-dən 7 addım sola).

Əsas terminlər

toplanan — Toplama əməlində iştirak edən hər bir ədəd; məsələn, −2+(−4)-2+(-4) ifadəsində −2-2 və −4-4 toplananlardır.
cəm — Toplama əməlinin nəticəsi; toplananların birləşməsindən alınan ədəd.
modul — Bir ədədin işarəsindən asılı olmayan qiyməti; toplama qaydalarında əvvəlcə modullar toplanır və ya çıxılır, sonra nəticəyə uyğun işarə qoyulur.
əks ədədlərin cəmi — Bir-birinin əksi olan iki ədədin (məsələn, 99 və −9-9) cəmi; bu cəm həmişə sıfıra bərabərdir.
yerdəyişmə xassəsi — Toplananların yerini dəyişdikdə cəmin dəyişməməsi: a+b=b+aa+b=b+a.
qruplaşdırma xassəsi — Üç və ya daha çox toplananı istənilən ardıcıllıqla qruplaşdıraraq toplamaq mümkünlüyü: a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
Eyni və müxtəlif işarəli toplama qaydaları
HalQaydaNümunə
Hər iki toplanan mənfi (eyni işarəli)Modullar toplanır, cəmin qarşısına “–” yazılır−5+(−3)=−8-5+(-3)=-8
Toplananlar müxtəlif işarəliModulların fərqi tapılır (böyükdən kiçik çıxılır), modulu böyük olan ədədin işarəsi qoyulur5+(−9)=−45+(-9)=-4
Toplananlar bir-birinin əksiCəm sıfıra bərabər olur7+(−7)=07+(-7)=0

Toplamadan əvvəl toplananların işarələrinə bax: eyni işarəlidirsə modulları topla, müxtəlifdirsə modulların fərqini tap.

Ədəd oxunda toplama
ToplamaBaşlanğıc nöqtəHərəkətNəticə
4+(−6)4+(-6)4466 addım sola−2-2
−3+5-3+5−3-355 addım sağa22
−2+(−4)-2+(-4)−2-244 addım sola−6-6

Toplananın işarəsi hərəkətin istiqamətini göstərir: müsbət toplanan sağa, mənfi toplanan isə sola aparır.

✎Məsələ: Ədədlərin modulundan istifadə etməklə cəmi tapın: −2+(−4)-2+(-4)
  1. 1Addım 1 — Modulları tap: ∣−2∣=2|-2|=2, ∣−4∣=4|-4|=4.
  2. 2Addım 2 — Modulları topla: 2+4=62+4=6.
  3. 3Addım 3 — İşarəni qoy: Hər iki toplanan mənfi olduğu üçün cəmin qarşısına “–” işarəsi yazılır.
  4. 4Nəticə: −2+(−4)=−6-2+(-4)=-6.
✎Məsələ: Cəmi tapın: 3+(−7)3+(-7)
  1. 1Addım 1 — Modulları tap: ∣3∣=3|3|=3, ∣−7∣=7|-7|=7.
  2. 2Addım 2 — Modulların fərqini tap: Böyükdən kiçiyi çıx: 7−3=47-3=4.
  3. 3Addım 3 — İşarəni qoy: Modulu böyük olan −7-7 mənfi olduğu üçün cəm də mənfi olur.
  4. 4Nəticə: 3+(−7)=−43+(-7)=-4.
✎Məsələ: Toplamanın xassələrindən istifadə etməklə cəmi tapın: 8+(−4)+12+(−6)8+(-4)+12+(-6)
  1. 1Addım 1 — Eyni işarəli toplananları qruplaşdır: Yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələrinə görə: (8+12)+(−4+(−6))(8+12)+(-4+(-6)).
  2. 2Addım 2 — Müsbətləri topla: 8+12=208+12=20.
  3. 3Addım 3 — Mənfiləri topla: −4+(−6)=−10-4+(-6)=-10 (modullar toplanır: 4+6=104+6=10, qarşısına “–” işarəsi yazılır).
  4. 4Addım 4 — Nəticələri topla: 20+(−10)=1020+(-10)=10.
  5. 5Nəticə: 8+(−4)+12+(−6)=108+(-4)+12+(-6)=10.
🚫Tez-tez səhv

Səhv: “∣−2∣=2|-2|=2, ∣5∣=5|5|=5, deməli 2+5=72+5=7, ona görə −2+5=7-2+5=7” düşünmək YANLIŞDIR. Modulların cəmi ilə cəmin modulu yalnız EYNİ işarəli ədədlərdə üst-üstə düşür; müxtəlif işarəlidə fərqlidir: −2+5=3-2+5=3 (modulların fərqi), amma ∣−2∣+∣5∣=7|-2|+|5|=7.

🚫Tez-tez səhv

Səhv: mənfi toplananı toplama işarəsindən sonra mötərizəsiz yazmaq, məsələn “5+−25+-2”. Toplama işarəsindən sonra gələn mənfi ədəd həmişə mötərizədə yazılır: 5+(−2)5+(-2).

⚠️Diqqət

Diqqət: müxtəlif işarəli toplamada cavabın işarəsini modulu BÖYÜK olan ədədin işarəsinə görə seç, ifadədə əvvəl yazılan ədədə görə yox — 3+(−7)=−43+(-7)=-4, çünki ∣−7∣=7|-7|=7, ∣3∣=3|3|=3-dən böyükdür, baxmayaraq ki, müsbət ədəd birinci yazılıb.

💡Qeyd

Qeyd: toplamanın yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələri tam ədədlər üçün də doğrudur — uzun cəmlərdə əvvəlcə eyni işarəli toplananları qruplaşdırmaq işi asanlaşdırır: 8+(−4)+12+(−6)=(8+12)+(−4+(−6))=20+(−10)=108+(-4)+12+(-6)=(8+12)+(-4+(-6))=20+(-10)=10.

Qaydalar

  1. 1İki mənfi tam ədədi toplamaq üçün modullarını topla və nəticənin qarşısına “–” işarəsi qoy.
  2. 2Müxtəlif işarəli iki ədədi toplamaq üçün əvvəlcə modullarını tap, sonra böyük moduldan kiçiyini çıx və modulu böyük olan ədədin işarəsini qoy.
  3. 3Əks ədədləri (məsələn, 66 və −6-6) topladıqda nəticənin sıfır olacağını unutma.
  4. 4Toplamanı əsaslandırmaq üçün ədəd oxunda müsbət toplananda sağa, mənfi toplananda isə sola hərəkət et.
  5. 5Uzun cəmlərdə toplamanın yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələrindən istifadə edərək eyni işarəli toplananları əvvəlcədən birləşdir.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq