m6-3.2· Fəsil 3: Nisbət və mütənasiblik· ~13 dəq

Düz və tərs mütənasiblik; miqyas

Düz/tərs mütənasib kəmiyyətlər; xəritə miqyası.

İki kəmiyyət düz mütənasibdirsə, biri neçə dəfə artarsa digəri də eyni dəfə artar; biri neçə dəfə azalarsa digəri də eyni dəfə azalar. Nisbətləri bərabərdir: a₁/a₂ = b₁/b₂. Tərs mütənasiblikdə isə biri artanda digəri eyni dəfə azalır; hasillər bərabərdir: a₁ · b₁ = a₂ · b₂. Düz mütənasiblik nümunəsi: sürət sabitdir, yol artdıqca vaxt artar. Tərs mütənasiblik nümunəsi: iş sabitdir, işçi sayı artdıqca hər işçiyə düşən vaxt azalar. Miqyas xəritədəki məsafənin həqiqi məsafəyə nisbətidir; m = d_xəritə / d_həqiqi. Miqyas 1 : 50 000 o deməkdir ki, xəritədəki 1 sm həqiqi həyatda 50 000 sm = 500 m-ə uyğundur. Bilinməyəni tapmaq üçün düz mütənasiblikdə tənasübün əsas xassəsindən — xarici həddlərin hasili daxili həddlərin hasilinə bərabərdir — istifadə edirik.

📌Nümunə

Məsələn: miqyası 1 : 200 000 olan xəritədə iki şəhər arasındakı məsafə 3 sm-dirsə, həqiqi məsafə 3 × 200 000 = 600 000 sm = 6 km-dir.

Əsas terminlər

Düz mütənasiblik — İki kəmiyyət elə bağlıdırsa ki, biri

k

dəfə artdıqda digəri də

k

dəfə artar (azaldıqda da eyni nisbətdə azalar). Nisbətləri bərabərdir:

\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}

Tərs mütənasiblik — İki kəmiyyət elə bağlıdırsa ki, biri

k

dəfə artdıqda digəri

k

dəfə azalar. Hasillər bərabərdir:

a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2

Tənasüb — İki nisbətin bərabərliyidir:

a : b = c : d

(və ya

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

). Xarici həddlərin hasili daxili həddlərin hasilinə bərabərdir:

a \cdot d = b \cdot c

Miqyas — Xəritədəki məsafənin həqiqi məsafəyə nisbəti.

m = \frac{d_{\text{xəritə}}}{d_{\text{həqiqi}}}

. Məsələn,

1 : 50\,000

deməkdir ki, xəritədəki 1 sm həqiqi

50\,000

= 500

m-ə uyğundur.

Sabit hasil — Tərs mütənasiblikdə iki kəmiyyətin hasili dəyişməz qalır:

a \cdot b = \text{const}

. Məsələn, sürət

\times

vaxt

=

sabit yol.

Sabit nisbət — Düz mütənasiblikdə iki kəmiyyətin nisbəti dəyişməz qalır:

\frac{a}{b} = \text{const}

. Məsələn, qiymət sabitdirsə

\frac{\text{məbləğ}}{\text{miqdar}} = \text{const}

Düz və Tərs Mütənasiblik — Müqayisəli Cədvəl

Xüsusiyyət	Düz mütənasiblik	Tərs mütənasiblik
Dəyişmə istiqaməti	İkisi də eyni istiqamətdə dəyişir	Əks istiqamətdə dəyişir
Sabit olan	Nisbət: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$	Hasil: $a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2$
Bilinməyəni tapmaq	$x = \frac{a_2 \cdot b_1}{a_1}$	$x = \frac{a_1 \cdot b_1}{a_2}$
Real nümunə	Miqdar artır → ödəniş artar	Fəhlə sayı artır → iş müddəti azalar
Digər nümunə	Vaxt artır → yol artar (sürət sabit)	Sürət artır → vaxt azalar (yol sabit)

Hər iki növü fərqləndirmək üçün özünüzə soruşun: «Biri artanda digəri artırmı, yoxsa azalırmı?»

Miqyas Hesablamaları — Düstur Cədvəli

Tapılacaq kəmiyyət	Düstur	Nümunə (miqyas $1:200\,000$ )
Həqiqi məsafə	$d_{\text{həq}} = d_{\text{xər}} \times M$	$3{,}5 \text{ sm} \times 200\,000 = 700\,000 \text{ sm} = 7 \text{ km}$
Xəritə məsafəsi	$d_{\text{xər}} = d_{\text{həq}} \div M$	$45 \text{ km} = 4\,500\,000 \text{ sm}; \quad 4\,500\,000 \div 1\,500\,000 = 3 \text{ sm}$
Miqyas (M)	$M = d_{\text{həq}} \div d_{\text{xər}}$	$240 \text{ km} = 24\,000\,000 \text{ sm}; \quad 24\,000\,000 \div 8 = 3\,000\,000$
Vahid çevirmə	$1 \text{ km} = 1000 \text{ m} = 100\,000 \text{ sm}$	Həmişə eyni vahidə gətirilməlidir

Qeyd: $M$ miqyasın məxrəcidir (məsələn, $1:50\,000$ -də $M = 50\,000$ ). Vahidlər eyni olmalıdır!

✎Məsələ: Tərs mütənasiblik — işçi sayı və vaxt

1Şərt: $5$ fəhlə bir işi $12$ gündə bitirir. Həmin işi $4$ fəhlə neçə günə bitirər?
2Addım 1 — növü müəyyənləşdir: Fəhlə sayı azalır ( $5 \to 4$ ), iş həcmi sabitdir → vaxt artacaq. Bu **tərs mütənasiblikdir**.
3Addım 2 — düstur: Tərs mütənasiblikdə: $a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2$ , yəni $5 \cdot 12 = 4 \cdot x$ .
4Addım 3 — hesabla: $5 \cdot 12 = 60$ , deməli $4 \cdot x = 60 \Rightarrow x = 60 \div 4 = 15$ .
5Cavab: $4$ fəhlə həmin işi $\boxed{15}$ gündə bitirər.

✎Məsələ: Miqyas — həqiqi məsafəni tapmaq

1Şərt: Miqyası $1 : 200\,000$ olan xəritədə iki şəhər arasındakı məsafə $3{,}5$ sm-dir. Həqiqi məsafə neçə km-dir?
2Addım 1 — vahidlər: $M = 200\,000$ (miqyasın məxrəci); $d_{\text{xər}} = 3{,}5$ sm.
3Addım 2 — düstur tətbiq et: $d_{\text{həq}} = d_{\text{xər}} \times M = 3{,}5 \times 200\,000 = 700\,000$ sm.
4Addım 3 — km-ə çevir: $700\,000 \text{ sm} \div 100\,000 = 7 \text{ km}$ .
5Cavab: Həqiqi məsafə $\boxed{7}$ km-dir.

🚫Tez-tez səhv

Tələbələr tez-tez tərs mütənasiblikdə **vurma əvəzinə toplama** edirlər. Məsələn, « $7$ maşın yükü $3$ gündə daşıyır, $1$ gündə daşımaq üçün neçə maşın?» sualında $7 + 3 = 10$ və ya $7 - 3 = 4$ yazırlar. Düzgün: $7 \times 3 \div 1 = 21$ . Qaydanı yadda saxla: **sabit hasil** tətbiq et, toplama-çıxma yox.

🚫Tez-tez səhv

Başqa tez-tez görülən səhv: boru/fəhlə sayı **artanda** vaxtı da **artırmaq**. Məsələn, « $8$ kran $6$ saata doldurur, $4$ kran neçə saata doldurur?» sualında $6 \div 2 = 3$ yazırlar (vaxtı azaldırlar). Amma $4 < 8$ , yəni kran sayı azaldı → vaxt **artır**: $6 \times 2 = 12$ saat. Kran sayı azalır → vaxt çoxalır.

⚠️Diqqət

Miqyas hesablamalarında **vahidlər mütləq eyni olmalıdır**. Həqiqi məsafəni km ilə verirlərsə, əvvəlcə sm-ə çevir ( $1 \text{ km} = 100\,000 \text{ sm}$ ), sonra miqyasla bölmə/vurma et. Unudarsan ki, $240 \text{ km} = 24\,000\,000 \text{ sm}$ , həmin zaman miqyas 100 dəfə yanlış çıxar.

💡Qeyd

Düz yoxsa tərs mütənasiblik olduğunu yoxlamaq üçün özünüzə soruşun: «Biri **artanda** digəri artırmı, yoxsa azalırmı?» Artırsa — **düz**; azalırsa — **tərs**. Məsələn: sürət artdıqda vaxt azalır → **tərs**; qiymət sabitdirsə miqdar artdıqca ödəniş artar → **düz**.

Qaydalar

1Düz mütənasiblikdə a₁/a₂ = b₁/b₂: biri artanda digəri eyni nisbətdə artar.
2Tərs mütənasiblikdə a₁ · b₁ = a₂ · b₂: biri artanda digəri eyni nisbətdə azalar.
3Bilinməyəni tapmaq üçün tənasübün əsas xassəsini tətbiq et: xarici həddlərin hasili = daxili həddlərin hasili.
4Miqyas = xəritədəki məsafə ÷ həqiqi məsafə; vahidlər eyni olmalıdır.
5Həqiqi məsafəni tapmaq üçün xəritə məsafəsini miqyasın məxrəcinə vur: d_həqiqi = d_xəritə × M (miqyasın məxrəci).

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq