m7-15.4· Bölmə 10. Situasiya məsələləri· ~13 dəq

Çoxluqlar üzərində əməllər

Çoxluqların birləşməsi, kəsişməsi və fərqinin Venn diaqramı ilə göstərilməsi.

Çoxluqlar nəzəriyyəsi riyaziyyatın əsas bölmələrindən biridir. Çoxluq dedikdə hər hansı obyektlərin toplusu başa düşülür. İki çoxluq üzərində üç əsas əməl vardır: birləşmə, kəsişmə və fərq. A və B çoxluqlarının birləşməsi (A ∪ B) onların heç olmasa birinə daxil olan elementlərdən ibarətdir. Kəsişmə (A ∩ B) hər iki çoxluğa aid olan ortaq elementləri ehtiva edir. Fərq (A \ B) isə A-ya aid olub B-yə aid olmayan elementlərdən təşkil olunur. Çoxluqlar arasındakı əlaqələri əyani göstərmək üçün Venn diaqramlarından istifadə olunur. İki çoxluq üçün Venn diaqramı iki kəsişən dairədən ibarətdir. Ümumi hissə kəsişməni, bütöv fiqur isə birləşməni təmsil edir. Çoxluqların elementlərinin sayını taparkən diqqətli olmaq lazımdır: birləşmənin gücünü hesablayarkən ortaq elementlər iki dəfə sayılmamalıdır, yəni |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Venn diaqramında hər hissəyə element miqdarını yazmaqla məsələlər asan həll olunur.

📌Nümunə

Məsələn: A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} çoxluqları üçün A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, A ∩ B = {3}, A \ B = {1, 2} olur.

Qrafiklər

A = {1,2,3} və B = {3,4,5} üçün Venn diaqramı: yalnız A-da 1,2; kəsişmədə 3; yalnız B-də 4,5. A ∪ B və A ∩ B göstərilib.
A = {1,2,3} və B = {3,4,5} üçün Venn diaqramı: yalnız A-da 1,2; kəsişmədə 3; yalnız B-də 4,5. A ∪ B və A ∩ B göstərilib.

Əsas terminlər

Çoxluq — Müəyyən qaydaya görə seçilmiş obyektlərin (elementlərin) toplusu, məs. A={2,4,6}A=\{2,4,6\}.
Birləşmə — A∪BA \cup B — hər iki çoxluğun ən azı birinə aid olan bütün elementlərdən ibarət çoxluq.
Kəsişmə — A∩BA \cap B — hər iki çoxluğa eyni zamanda aid olan ortaq elementlərdən ibarət çoxluq.
Fərq — A∖BA \setminus B — AA-ya aid olub BB-yə aid olmayan elementlərdən ibarət çoxluq.
Kardinallıq — ∣A∣|A| — çoxluğun elementlərinin sayı.
Venn diaqramı — Çoxluqlar arasındakı əlaqələri kəsişən dairələrlə göstərən sxem; kəsişən hissə A∩BA\cap B-ni təmsil edir.
Çoxluq əməlləri, işarələri və mənaları
ƏməlİşarəMənası
BirləşməA∪BA \cup Bhər iki çoxluğun ən azı birinə aid elementlər
KəsişməA∩BA \cap Bhər iki çoxluğa aid ortaq elementlər
FərqA∖BA \setminus BAA-da olub BB-də olmayan elementlər
Kardinallıq∣A∣|A|çoxluğun element sayı

Hər əməlin nəticəsi də bir çoxluqdur, kardinallıq isə ədəddir.

Venn diaqramı ilə bağlı hesablama düsturları
Nə axtarılırDüsturNümunə
Birləşmənin element sayı∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|20+15−10=2520+15-10=25
Kəsişmənin element sayı∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∪B∣|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|19+22−35=619+22-35=6
Yalnız AA-ya aid element sayı∣A∣−∣A∩B∣|A|-|A\cap B|25−10=1525-10=15
Heç birinə aid olmayanlarümumi say −∣A∪B∣-|A\cup B|35−25=1035-25=10

Ortaq elementlər (A∩BA\cap B) yalnız BİR dəfə sayılmalıdır — düsturdakı çıxma buna görədir.

✎Venn diaqramı ilə "heç biri" sualının həlli
  1. 1Verilir: Sinifdə 3535 şagird var; 2020-si futbol, 1515-i basketbol oynayır, 1010-u hər ikisini oynayır.
  2. 21-ci addım (birləşmə): ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣=20+15−10=25|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=20+15-10=25.
  3. 32-ci addım (tamamlayıcı): Heç birini oynamayanlar =35−25=10=35-25=10.
  4. 4Nəticə: 1010 şagird nə futbol, nə də basketbol oynamır.
✎Cüt ədədlər və 3-ün qatları çoxluqlarında əməllər
  1. 1Verilir: A={2,4,6,8,10}A=\{2,4,6,8,10\} (1010-a qədər cüt ədədlər), B={3,6,9}B=\{3,6,9\} (1010-a qədər 33-ün qatları).
  2. 21-ci addım (kəsişmə): A∩B={6}A\cap B=\{6\}.
  3. 32-ci addım (birləşmə): A∪B={2,3,4,6,8,9,10}A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10\} — 77 element.
  4. 43-cü addım (fərq): (A∪B)∖(A∩B)={2,3,4,8,9,10}(A\cup B)\setminus(A\cap B)=\{2,3,4,8,9,10\}.
  5. 5Nəticə: Bu çoxluqda 66 element var.
🚫Tez-tez səhv

'Yalnız AA' və 'yalnız BB' saylarını toplayanda kəsişməni əlavə etməyi unutma: ∣A∪B∣=(yalnız A)+(yalnız B)+∣A∩B∣|A\cup B|=(\text{yalnız }A)+(\text{yalnız }B)+|A\cap B|.

🚫Tez-tez səhv

Nisbətlə verilən Venn məsələlərində (məs. 4:1:34{:}1{:}3) əvvəlcə hissələrin cəminə görə bir payın qiymətini tap, sonra hər hissəyə vur — nisbət ədədlərini birbaşa cavab kimi yazmaq səhvdir.

⚠️Diqqət

∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| düsturunda kəsişməni çıxmağı unutmaq ortaq elementləri İKİ DƏFƏ saymağa səbəb olur — bu, ən çox rast gəlinən Venn səhvidir.

💡Qeyd

A∖BA\setminus B (fərq) B∖AB\setminus A-dan fərqlidir — sıra vacibdir: A∖BA\setminus B yalnız AA-da olanları, B∖AB\setminus A isə yalnız BB-də olanları verir.

💡Qeyd

'Heç biri' sualında əvvəlcə ∣A∪B∣|A\cup B| tapılır, sonra bu, ÜMUMİ sayından çıxılır: heç biri == ümumi −∣A∪B∣-|A\cup B|.

Qaydalar

  1. 1Çoxluqların birliyini təyin etmək üçün elementlərin hər birini təkrarsız olaraq topla.
  2. 2İki çoxluğun kəsişməsini taparkən yalnız hər ikisində olan elementləri seç.
  3. 3Çoxluq fərqini taparkən birinci çoxluğun ikinciyə daxil olmayan elementlərini götür.
  4. 4Venn diaqramında ədədləri yazarkən kəsişməni təmsil edən hissədən başla.
  5. 5Birləşmənin element sayını tapmaq üçün |A| + |B| − |A ∩ B| düsturundan istifadə et.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq