m7-15.2· Bölmə 10. Situasiya məsələləri· ~13 dəq

Nisbi xəta

Nisbi xətanın hesablanması və ölçmələrin dəqiqliyinin faizlə müqayisəsi.

Ölçmələrdə yaranan səhvləri qiymətləndirmək üçün nisbi xəta anlayışından istifadə olunur. Həqiqi qiymət sıfırdan fərqli olduqda nisbi xəta ( $\delta$ ) mütləq xətanın ( $\Delta x$ ) həqiqi qiymətin mütləq qiymətinə ( $|x_{\text{həqiqi}}|$ ) nisbətidir: $\delta = \frac{\Delta x}{|x_{\text{həqiqi}}|}$ . Həqiqi qiymət sıfırdan fərqli olduqda nisbi xəta mənfi ola bilməz; ölçülmüş qiymət həqiqi qiymətə bərabərdirsə, o, $0$ olur. Bu, vahidsiz kəmiyyət olub, tez-tez faizlə ifadə edilir: $\delta \% = \delta \cdot 100\%$ . Nisbi xəta müxtəlif ölçmələrin dəqiqliyini müqayisə etmək üçün əsas meyardır. Çünki mütləq xəta ölçülən kəmiyyətin böyüklüyündən asılı olaraq müxtəlif ola bilər, lakin nisbi xəta nisbi dəqiqliyi göstərir. Ölçmənin nisbi xətası nə qədər kiçik olsa, həmin ölçmə bir o qədər etibarlıdır.

📌Nümunə

Məsələn, bir millimetrlik xəta $1\ \text{m}$ uzunluğunda əhəmiyyətli ikən, $1\ \text{km}$ məsafədə çox kiçikdir. Buna görə də, nisbi xəta nə qədər kiçik olarsa, ölçmə bir o qədər dəqiq hesab edilir. Praktik hesablamalarda, əgər nisbi xəta kiçikdirsə, həqiqi qiymət yerinə ölçülən qiymətdən istifadə etmək olar. Məsələn: Bir kitabın həqiqi uzunluğu $30\ \text{sm}$ , ölçülən uzunluq isə $29{,}5\ \text{sm}$ olarsa, mütləq xəta $|29{,}5-30|=0{,}5\ \text{sm}$ , nisbi xəta isə $\frac{0{,}5}{30}\approx 0{,}0167$ və ya $1{,}67\%$ olar.

Əsas terminlər

Nisbi xəta — Həqiqi qiymət sıfırdan fərqli olduqda mütləq xətanın həqiqi qiymətin mütləq qiymətinə nisbəti:

\delta = \dfrac{\Delta x}{|x_{\text{həq}}|}

; ölçmənin nisbi dəqiqliyini göstərir.

Faizlə nisbi xəta — Nisbi xətanın faizlə ifadəsi:

\delta\% = \delta \cdot 100\%

Vahidsiz kəmiyyət — Nisbi xəta ölçü vahidi daşımır — sadə ədəd və ya faiz kimi ifadə olunur, mütləq xətadan fərqli olaraq.

Dəqiqliyin müqayisəsi — Fərqli böyüklükdəki ölçmələri ədalətli müqayisə etmək üçün mütləq xəta yox, nisbi xəta istifadə olunur.

Tərs hesablama — Nisbi xəta sıfırdan fərqlidirsə və mütləq xəta məlumdursa, həqiqi qiymətin mütləq qiyməti tapılır:

|x_{\text{həq}}| = \dfrac{\Delta x}{\delta}

Etibarlılıq — Nisbi xəta nə qədər kiçikdirsə, ölçmə bir o qədər etibarlı və dəqiq sayılır.

Nisbi xəta ilə bağlı düsturlar

Nə tapılır	Düstur	Nümunə
Nisbi xəta (onluq kəsr)	$\delta = \dfrac{\Delta x}{\|x_{\text{həq}}\|}$ , $x_{\text{həq}} \ne 0$	$\Delta x=4,\ x_{\text{həq}}=200 \Rightarrow \delta=0{,}02$
Nisbi xəta (faizlə)	$\delta\% = \delta \cdot 100\%$	$0{,}02 \cdot 100\% = 2\%$
Mütləq xətanın nisbi xətadan tapılması	$\Delta x = \delta \cdot \|x_{\text{həq}}\|$	$\delta=3\%,\ x_{\text{həq}}=200\ \text{sm} \Rightarrow \Delta x=6\ \text{sm}$

Həqiqi qiymət sıfırdan fərqli olduqda nisbi xəta mütləq xətanı həqiqi qiymətin mütləq qiymətinə bölməklə, faizə isə $100$ -ə vurmaqla tapılır.

İki ölçmənin dəqiqliyinin müqayisəsi (nisbi xətaya görə)

Ölçmə	Mütləq xəta	Nisbi xəta	Nəticə
I: həqiqi $100\ \text{m}$	$5\ \text{m}$	$5\%$	az dəqiq
II: həqiqi $400\ \text{m}$	$12\ \text{m}$	$3\%$	daha dəqiq

Böyük mütləq xətaya (12 m) baxmayaraq, II ölçmənin nisbi xətası kiçikdir, ona görə o daha dəqiqdir.

✎Ölçülmüş və həqiqi qiymətdən nisbi xətanın tapılması

1Verilir: Kitabın həqiqi uzunluğu $30\ \text{sm}$ , ölçülən uzunluğu $29{,}5\ \text{sm}$ -dir.
21-ci addım (mütləq xəta): $\Delta x = |29{,}5 - 30| = 0{,}5\ \text{sm}$ .
32-ci addım (nisbi xəta): $\delta = \dfrac{0{,}5}{30} \approx 0{,}0167$ .
4Nəticə: Faizlə ifadə etdikdə $\delta\% \approx 1{,}67\%$ .

✎İki ölçmənin nisbi xətaya görə müqayisəsi

1Verilir: I ölçmə: həqiqi uzunluq $100\ \text{m}$ , mütləq xəta $5\ \text{m}$ . II ölçmə: həqiqi uzunluq $400\ \text{m}$ , mütləq xəta $12\ \text{m}$ .
21-ci addım: I ölçmənin nisbi xətası: $\delta_1 = \dfrac{5}{100} = 0{,}05 = 5\%$ .
32-ci addım: II ölçmənin nisbi xətası: $\delta_2 = \dfrac{12}{400} = 0{,}03 = 3\%$ .
4Nəticə: $3\% < 5\%$ olduğundan II ölçmə daha dəqiqdir, baxmayaraq ki, onun mütləq xətası ( $12\ \text{m}$ ) daha böyükdür.

🚫Tez-tez səhv

Sualın 'onluq kəsr' yoxsa 'faizlə' istədiyinə diqqət et — $0{,}02$ ilə $2\%$ eyni ədədin fərqli yazılış formasıdır, format dəyişdirilməzsə cavab səhv sayılır.

🚫Tez-tez səhv

Mütləq xətanı birbaşa faiz kimi yazmaq (məs. $0{,}7$ kq-ı $0{,}7\%$ kimi) səhvdir — həqiqi qiymət sıfırdan fərqli olduqda əvvəlcə $\delta=\Delta x/|x_{\text{həq}}|$ hesablanmalı, sonra $100$ -ə vurulmalıdır.

⚠️Diqqət

Böyük mütləq xətaya baxıb ölçmənin 'az dəqiq' olduğunu düşünmə — nisbi xətanı hesablamadan müqayisə aparmaq olmaz, çünki böyük kəmiyyətlərdə böyük mütləq xəta kiçik faiz verə bilər.

💡Qeyd

Nisbi xəta kiçildikcə ölçmə bir o qədər etibarlı sayılır — bu, fərqli böyüklükdə kəmiyyətləri (sm ilə km kimi) ədalətli müqayisə etməyə imkan verir.

💡Qeyd

Tərs məsələlərdə ( $\Delta x$ və sıfırdan fərqli $\delta$ verilib, $|x_{\text{həq}}|$ axtarılır) düstur tərsinə çevrilir: $|x_{\text{həq}}|=\Delta x/\delta$ .

Qaydalar

1Həqiqi qiymət sıfırdan fərqli olduqda nisbi xəta mütləq xətanın həqiqi qiymətin mütləq qiymətinə nisbəti ilə hesablanır: $\delta = \frac{\Delta x}{|x_{\text{həqiqi}}|}$ .
2Həqiqi qiymət sıfırdan fərqli olduqda nisbi xəta mənfi olmayan ədəddir; ölçülmüş qiymət həqiqi qiymətə bərabərdirsə, nisbi xəta $0$ olur.
3Nisbi xəta faizlə ifadə edilə bilər: $\delta \% = \delta \cdot 100\%$ .
4Müxtəlif ölçmələrin dəqiqliyi nisbi xətaya görə müqayisə edilir; nisbi xəta kiçik olan ölçmə daha dəqiqdir.
5Praktik hesablamalarda, nisbi xəta kiçik olduqda, həqiqi qiymət əvəzinə ölçülən qiymət istifadə edilə bilər.
6Nisbi xəta vahidsiz kəmiyyətdir.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq