m7-14.5· Bölmə 9. Üçbucaqların konqruyentliyi· ~13 dəq

Bərabəryanlı və bərabərtərəfli üçbucağın xassələri

Bərabəryanlı və bərabərtərəfli üçbucaqların bucaq və median xassələrinin sübutu.

Bərabəryanlı üçbucaq iki tərəfi bərabər olan üçbucaqdır. Bu tərəflərə yan tərəflər, üçüncü tərəfə isə oturacaq deyilir. Bərabəryanlı üçbucaqda oturacaq bucaqları bərabərdir. Oturacağa çəkilən median eyni zamanda hündürlük və tənböləndir. Bu xassəni konqruyent üçbucaqlar vasitəsilə sübut etmək olar. Bərabəryanlı üçbucağın oturacağına perpendikulyar çəkildikdə iki düzbucaqlı üçbucaq alınır. Həmin üçbucaqların hipotenuzları (yan tərəflər) və bir kəteti (oturacağın yarısı) bərabər olduğundan konqruyentdir. Buradan medianın həm də tənbölən olduğu aydın olur. Bərabərtərəfli üçbucaq isə bütün tərəfləri bərabər olan üçbucaqdır. Onun hər bir daxili bucağı 60∘60^\circ-dir. Bərabərtərəfli üçbucaq həm də bərabəryanlıdır, ona görə də bərabəryanlı üçbucağın bütün xassələri onun üçün də doğrudur.

📌Nümunə

Məsələn, bərabərtərəfli üçbucağın istənilən tərəfinə çəkilən median həm hündürlük, həm də tənböləndir.

Əsas terminlər

Bərabəryanlı üçbucaq — İki tərəfi (yan tərəflər) bərabər olan üçbucaq; üçüncü tərəf oturacaq adlanır.
Oturacaq — Bərabəryanlı üçbucağın bərabər olmayan (üçüncü) tərəfi.
Bərabərtərəfli üçbucaq — Bütün üç tərəfi bərabər olan üçbucaq; hər bucağı 60∘60^\circ-dir.
Median — Təpədən qarşı tərəfin ortasına çəkilən parça.
Konqruyent üçbucaqlar — Bütün uyğun tərəfləri və bucaqları bərabər olan üçbucaqlar; işarəsi ≅\cong.
Uyğun elementlər — Konqruyent üçbucaqlarda bir-birinə uyğun gələn tərəf və bucaqlar.
Konqruyentlik əlamətləri
ƏlamətVerilən elementlər
ITərəf-bucaq-tərəf (iki tərəf və aralarındakı bucaq)
IIBucaq-tərəf-bucaq (iki bucaq və aralarındakı tərəf)
IIITərəf-tərəf-tərəf (üç tərəfin hamısı)

Üçbucaqların konqruyentliyini sübut etmək üçün yalnız bu üç əlamətdən istifadə olunur.

Bərabəryanlı və bərabərtərəfli üçbucağın xassələri
XassəBərabəryanlı üçbucaqBərabərtərəfli üçbucaq
Tərəflərİki tərəf (yan tərəflər) bərabərdirBütün üç tərəf bərabərdir
BucaqlarOturacaq bucaqları bərabərdirBütün bucaqlar 60∘60^\circ-dir
Oturacağa çəkilən medianHəm hündürlük, həm tənböləndirHər tərəfə çəkilən median həm hündürlük, həm tənböləndir

Bərabərtərəfli üçbucaq həm də bərabəryanlıdır, ona görə bərabəryanlının bütün xassələri ona da aiddir.

✎Oturacağa çəkilən medianın həm hündürlük, həm tənbölən olduğunu sübut etmək
  1. 1Verilir: △ABC\triangle ABC, AB=ACAB=AC, MM nöqtəsi BCBC tərəfinin ortasıdır (deməli BM=MCBM=MC).
  2. 2İsbat etməli: AMAM medianının eyni zamanda hündürlük və tənbölən olduğunu göstərmək.
  3. 31: △ABM\triangle ABM və △ACM\triangle ACM üçbucaqlarına baxılır.
  4. 42: AB=ACAB=AC (verilib), BM=MCBM=MC (verilib), AMAM isə hər iki üçbucaq üçün ortaq tərəfdir (AM=AMAM=AM).
  5. 53: Üç tərəf uyğun bərabər olduğundan III əlamətə (tərəf-tərəf-tərəf) görə △ABM≅△ACM\triangle ABM \cong \triangle ACM.
  6. 64: Konqruyent üçbucaqlarda uyğun bucaqlar bərabərdir: ∠AMB=∠AMC\angle AMB=\angle AMC. Bu iki bucaq bir-birini 180∘180^\circ-yə tamamladığından hər biri 90∘90^\circ-dir, deməli AM⊥BCAM \perp BC.
  7. 7Nəticə: AMAM BCBC-nin ortasından keçdiyi üçün mediandır, BCBC-yə perpendikulyar olduğu üçün hündürlükdür, ∠BAM=∠CAM\angle BAM=\angle CAM olduğundan isə tənböləndir.
✎Bucaq tənbölənindən konqruyentliyi sübut etmək
  1. 1Verilir: △ABC\triangle ABC, AB=ACAB=AC, ADAD isə ∠A\angle A-nın tənbölənidir (∠BAD=∠CAD\angle BAD=\angle CAD), DD nöqtəsi BCBC üzərindədir.
  2. 2İsbat etməli: △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD.
  3. 31: △ABD\triangle ABD və △ACD\triangle ACD üçbucaqlarına baxılır.
  4. 42: AB=ACAB=AC (verilib) və ∠BAD=∠CAD\angle BAD=\angle CAD (verilib, ADAD tənbölən), ADAD isə ortaq tərəfdir (AD=ADAD=AD).
  5. 53: İki tərəf və onların arasındakı bucaq uyğun bərabər olduğundan I əlamətə (tərəf-bucaq-tərəf) görə △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD.
  6. 64: Konqruyent üçbucaqlarda uyğun elementlər bərabərdir: ∠B=∠C\angle B=\angle C, BD=DCBD=DC və ∠ADB=∠ADC\angle ADB=\angle ADC.
  7. 7Nəticə: Təpə bucağının tənböləni oturacaq bucaqlarının bərabərliyini sübut edir; ∠ADB=∠ADC=90∘\angle ADB=\angle ADC=90^\circ olduğundan ADAD eyni zamanda median və hündürlükdür.
🚫Tez-tez səhv

AB=ACAB=AC olduqda bərabər olan bucaqlar oturacağa bitişik olan ∠B\angle B və ∠C\angle C-dir — təpə bucağı ∠A\angle A ilə oturacaq bucaqlarını qarışdırmayın.

🚫Tez-tez səhv

“SSA” (tərəf-tərəf-bucaq) düzgün konqruyentlik əlaməti deyil — yalnız I (tərəf-bucaq-tərəf), II (bucaq-tərəf-bucaq) və III (tərəf-tərəf-tərəf) əlamətlərindən istifadə edin.

⚠️Diqqət

Hər bərabərtərəfli üçbucaq həm də bərabəryanlıdır (iki tərəfi bərabər olma şərti ödənir), lakin hər bərabəryanlı üçbucaq bərabərtərəfli deyil — bərabərtərəflidə hər bucaq 60∘60^\circ-dir, bərabəryanlıda isə yalnız oturacaq bucaqları bərabərdir.

💡Qeyd

Yadda saxla: bərabəryanlı üçbucaqda yalnız oturacağa çəkilən median həm hündürlük, həm tənböləndir; bərabərtərəfli üçbucaqda isə bu xassə hər üç tərəfə çəkilən median üçün doğrudur.

Qaydalar

  1. 1Bərabəryanlı üçbucaqda iki tərəf bərabərdir.
  2. 2Bərabəryanlı üçbucaqda bərabər tərəflərə qarşı bucaqlar bərabərdir.
  3. 3Bərabəryanlı üçbucağın oturacağına çəkilən median eyni zamanda hündürlük və tənböləndir.
  4. 4Bərabərtərəfli üçbucaqda bütün tərəflər bərabərdir.
  5. 5Bərabərtərəfli üçbucağın hər bir daxili bucağı 60∘60^\circ-dir.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq