m7-11.2· Bölmə 6. Müxtəsər vurma düsturları· ~13 dəq

İkihədlinin kvadratı düsturlarından istifadə edərək üçhədlinin vuruqlara ayrılması

Üçhədlinin tam kvadrat olub-olmadığının müəyyən edilməsi və vuruqlara ayrılması qaydası.

Tam kvadrat üçhədli $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ düsturuna uyğun gələn üçhədlidir. Verilən üçhədlinin tam kvadrat olub-olmadığını yoxlamaq üçün: birinci həddin kvadrat kökü $a$ , sonuncu həddin kvadrat kökü $b$ tapılır; əgər $a$ və $b$ tam ifadələrdirsə, orta həddin $2ab$ hasilinə bərabərliyi yoxlanılır. Orta hədd məhz $2ab$ -yə bərabər olarsa (işarəsi nəzərə alınmaqla), üçhədli tam kvadratdır. Orta hədd müsbətdirsə cəmin kvadratı, mənfidirsə fərqin kvadratı alınır. Bu üsul üçhədlinin vuruqlara ayrılmasında geniş istifadə edilir. Əgər orta hədd $2ab$ deyilsə, verilən üçhədli bu düsturla vuruqlara ayrılmır. Tam kvadrat üçhədlinin əsas xüsusiyyəti birinci və sonuncu həddlərin mənfi olmamasıdır, çünki kvadratlar heç vaxt mənfi olmur (qeyri-mənfidir). Şagirdlər bu qaydanı bilməklə bir çox üçhədliləri asanlıqla vuruqlara ayıra bilərlər.

📌Nümunə

Məsələn: $x^2+6x+9$ üçhədlisi $(x+3)^2$ şəklində vuruqlara ayrılır.

Əsas terminlər

Tam kvadrat üçhədli —

(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2

düsturuna uyğun gələn üçhədli ifadə.

Birinci hədd — Tam kvadrat üçhədlidə

a^2

hissəsi; həmişə mənfi olmayan tam kvadratdır.

Sonuncu (sərbəst) hədd — Tam kvadrat üçhədlidə

b^2

hissəsi; həmişə mənfi olmayan tam kvadratdır.

Orta hədd — Tam kvadrat üçhədlidə

2ab

ifadəsi; işarəsi (

+

və ya

-

) düsturun cəm yoxsa fərq olduğunu göstərir.

Kvadrat kök — Verilmiş kvadrat ədədin və ya ifadənin özünü verən köküdür; tam kvadrat yoxlamasında birinci və sonuncu həddin kökü tapılır.

Vuruqlara ayırma — Tam kvadrat üçhədlini

(a\pm b)^2

hasil şəklinə gətirmə prosesi.

Tam kvadrat üçhədlinin yoxlanma qaydası

Addım	Nə edilir
1	Birinci həddin kvadrat kökünü tap: $\sqrt{a^2}=a$ .
2	Sonuncu həddin kvadrat kökünü tap: $\sqrt{b^2}=b$ .
3	$2ab$ hasilini hesabla və orta həddlə müqayisə et.
4	Uyğun gəlirsə: orta hədd müsbətdirsə $(a+b)^2$ , mənfidirsə $(a-b)^2$ yaz.

Uyğunluq yoxlanılmasa, üçhədli bu düsturla vuruqlara ayrıla bilməz — bu, ən çox buraxılan səhvin qarşısını alır.

Nümunə üçhədlilər: tam kvadratdır, ya yox?

Üçhədli	$2ab$ hesablanışı	Nəticə
$x^2+4x+4$	$2\cdot x\cdot2=4x$ (uyğundur)	Tam kvadrat: $(x+2)^2$
$x^2+8x+15$	$\sqrt{15}$ tam ədəd deyil	Tam kvadrat deyil
$4x^2+12x+10$	$\sqrt{10}$ tam ədəd deyil	Tam kvadrat deyil
$25x^2-60x+36$	$2\cdot5x\cdot6=60x$ (uyğundur)	Tam kvadrat: $(5x-6)^2$

Sonuncu həddin tam kvadrat olmaması (məs. $10$ , $15$ ) tək başına üçhədlinin tam kvadrat olmadığını göstərir — orta həddi yoxlamağa belə ehtiyac qalmır.

✎

25x^2-60x+36

üçhədlisinin tam kvadrat olduğunu yoxlamaq və vuruqlara ayırmaq

1Verilir: $25x^2-60x+36$ üçhədlisi vuruqlara ayrılmalıdır.
2Birinci həddin kökü: $\sqrt{25x^2}=5x$ , deməli $a=5x$ .
3Sonuncu həddin kökü: $\sqrt{36}=6$ , deməli $b=6$ .
4Orta həddi yoxlamaq: $2ab=2\cdot5x\cdot6=60x$ ; verilən orta hədd $-60x$ -dir, işarəsi mənfi olduğundan fərqin kvadratı düsturu uyğun gəlir.
5Nəticə: $25x^2-60x+36=(5x-6)^2$ .

✎

4x^2+12x+10

ifadəsinin tam kvadrat üçhədli OLMADIĞININ isbatı

1Verilir: $4x^2+12x+10$ ifadəsinin tam kvadrat üçhədli olub-olmadığı yoxlanılmalıdır.
2Birinci həddin kökü: $\sqrt{4x^2}=2x$ , deməli $a=2x$ .
3Sonuncu həddin kökü: $\sqrt{10}$ tam ədəd deyil — sərbəst hədd $10$ tam kvadrat deyil, çünki heç bir tam ədədin kvadratı $10$ vermir.
4Nəticə: Sonuncu hədd tam kvadrat olmadığından $4x^2+12x+10$ tam kvadrat üçhədli deyil (orta hədd $12x$ isə $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$ ilə uyğun gəlsə də, sərbəst hədd $9$ yox, $10$ -dur).

🚫Tez-tez səhv

Orta hədd düzgün görünsə belə, **sərbəst həddin tam kvadrat olması** vacibdir: $4x^2+12x+10$ ifadəsində orta hədd $(2x+3)^2$ -yə uyğun olsa da, $10\ne9$ olduğundan bu üçhədli tam kvadrat deyil.

🚫Tez-tez səhv

Fərqin kvadratını cəmin kvadratı ilə qarışdırmayın: $(x-5)^2=x^2-10x+25$ -dir, orta hədd **mənfi**, sərbəst hədd isə hər zaman **müsbətdir** — $x^2-10x-25$ səhvdir.

⚠️Diqqət

Əmsallı ifadələrdə ( $9x^2+30x+25$ kimi) orta həddi yoxlayarkən əmsalların kvadrat köklərini düzgün tapın: $\sqrt{9x^2}=3x$ , $\sqrt{25}=5$ , sonra $2\cdot3x\cdot5=30x$ ilə müqayisə edin.

⚠️Diqqət

Sərbəst hədd mənfi olduqda ( $x^2+4x-4$ kimi) ifadə heç vaxt tam kvadrat üçhədli ola bilməz, çünki $b^2$ mənfi ola bilməz.

💡Qeyd

Sürətli yoxlama: verilmiş $(x\pm a)^2$ formasını əvvəlcədən aç və nəticəni sualdakı üçhədli ilə müqayisə et — bu, «uyğun gəlirmi?» sualına ən sürətli cavabdır.

Qaydalar

1Tam kvadrat üçhədli $a^2 \pm 2ab + b^2$ şəklində olur.
2Birinci hədd ( $a^2$ ) və sonuncu hədd ( $b^2$ ) həmişə müsbət tam kvadrat olmalıdır.
3Orta hədd $2ab$ hasilinə bərabər olmalıdır; işarə cəm və ya fərqi göstərir.
4Əgər orta hədd $2ab$ -yə bərabər deyilsə, üçhədli tam kvadrat deyil.
5Tam kvadrat üçhədlini vuruqlara ayırmaq üçün $(a \pm b)^2$ düsturu tətbiq olunur.
6 $a$ və $b$ ifadələri ədəd və ya dəyişənli ifadələr ola bilər (məsələn, $x$ , $3$ , $2x$ ).
7Yoxlama addımları: birinci və sonuncu həddin kvadrat köklərini tap, $2ab$ hesabla, orta həddlə müqayisə et.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq