m7-11.1· Bölmə 6. Müxtəsər vurma düsturları· ~13 dəq

Müxtəsər vurma düsturlarının tətbiqi

Bütün müxtəsər vurma düsturlarının birgə tətbiqi ilə ifadələrin sadələşdirilməsi.

Müxtəsər vurma düsturları – (a+b)2(a+b)^2, (a−b)2(a-b)^2, (a−b)(a+b)(a-b)(a+b) – riyaziyyatın ən çox istifadə olunan eyniliklərindəndir. Onlar cəbri ifadələri açmağa, sıxlaşdırmağa, vuruqlara ayırmağa və tənlikləri həll etməyə kömək edir. Bu bölmədə həmin düsturların birgə tətbiqi nəzərdən keçirilir.

📌Nümunə

Məsələn, (x+y)2−(x−y)2(x+y)^2-(x-y)^2 ifadəsi əvvəlcə hər iki kvadratın ayrı-ayrılıqda açılması, sonra isə oxşar hədlərin toplanması ilə 4xy4xy şəklinə gətirilir. Eyni zamanda, (a2−b2)(a^2-b^2) kimi ifadələr kvadratlar fərqi düsturu ilə asanlıqla vuruqlara ayrılır. Təcrübədə bu düsturların qarışıq şəkildə verildiyi məsələlərə rast gəlinir: məsələn, (2x+3y)2−(x−2y)2(2x+3y)^2 - (x-2y)^2 kimi ifadələrdə həm cəmin kvadratı, həm fərqin kvadratı, həm də kvadratlar fərqi tətbiq oluna bilər. Bu cür tapşırıqlar şagirddən düsturları dərindən bilməyi, işarə qaydalarına riayət etməyi və diqqətli hesablama aparmağı tələb edir. Mətn məsələlərində də bu düsturlar geniş istifadə olunur. Məsələn, iki ədədin cəmi və hasili məlum olduqda onların kvadratları cəmini (a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab düsturundan istifadə etməklə tapmaq olar. Həmçinin, həndəsi fiqurların sahə və ya perimetrlərinin hesablanmasında da eyniliklər rol oynayır. Doğru düsturun seçilməsi və hesablamaların dəqiq aparılması nailiyyətin açarıdır. Məsələn: (a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab eyniliyi çox vaxt istifadə olunur.

Əsas terminlər

Müxtəsər vurma düsturu — Cəbri ifadələri sürətlə açmağa və ya vuruqlara ayırmağa imkan verən hazır eynilik, məsələn (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
Cəmin kvadratı — (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 eyniliyi; iki hədd, onların ikiqat hasili və kvadratlarından ibarətdir.
Fərqin kvadratı — (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 eyniliyi; orta hədd mənfi işarə ilə götürülür.
Kvadratlar fərqi — a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b) eyniliyi; iki kvadratın fərqini iki vuruğun hasilinə çevirir.
Oxşar hədlər — Eyni dəyişən və eyni dərəcəyə malik hədlər; sadələşdirmə zamanı toplanır və ya çıxılır.
Vuruqlara ayırma — Cəbri ifadəni hasil şəklində yazma prosesi; müxtəsər vurma düsturları bunun üçün əsas vasitədir.
Üç əsas müxtəsər vurma düsturu
Düsturun adıDüstur
Cəmin kvadratı(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Fərqin kvadratı(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Kvadratlar fərqia2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)

İşarə qaydası: cəmin kvadratında bütün hədlər müsbət, fərqin kvadratında orta hədd mənfidir; kvadratlar fərqi isə iki fərqli vuruğun hasilidir.

Tez-tez rast gəlinən birgə ifadələr
İfadəSadələşmiş forma
(a+b)2−(a−b)2(a+b)^2-(a-b)^24ab4ab
(a+b)2+(a−b)2(a+b)^2+(a-b)^22a2+2b22a^2+2b^2
(a−b)(a+b)(a-b)(a+b)a2−b2a^2-b^2

Bu üç kombinasiya tez-tez mətn məsələlərində (cəm və fərq məlum olduqda hasili və ya kvadratlar cəmini tapmaq üçün) istifadə olunur.

✎(2x+3y)2−(x−2y)2(2x+3y)^2-(x-2y)^2 ifadəsinin açılışı və sadələşdirilməsi
  1. 1Verilir: (2x+3y)2−(x−2y)2(2x+3y)^2-(x-2y)^2 ifadəsini sadələşdirmək tələb olunur.
  2. 2Birinci mötərizəni açmaq: Cəmin kvadratı düsturu ilə: (2x+3y)2=4x2+12xy+9y2(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2.
  3. 3İkinci mötərizəni açmaq: Fərqin kvadratı düsturu ilə: (x−2y)2=x2−4xy+4y2(x-2y)^2=x^2-4xy+4y^2.
  4. 4Çıxmaq: (4x2+12xy+9y2)−(x2−4xy+4y2)=4x2+12xy+9y2−x2+4xy−4y2(4x^2+12xy+9y^2)-(x^2-4xy+4y^2)=4x^2+12xy+9y^2-x^2+4xy-4y^2.
  5. 5Oxşar hədləri toplamaq: x2x^2 hədləri: 4x2−x2=3x24x^2-x^2=3x^2; xyxy hədləri: 12xy+4xy=16xy12xy+4xy=16xy; y2y^2 hədləri: 9y2−4y2=5y29y^2-4y^2=5y^2.
  6. 6Nəticə: (2x+3y)2−(x−2y)2=3x2+16xy+5y2(2x+3y)^2-(x-2y)^2=3x^2+16xy+5y^2.
✎Cəm və fərqdən kvadratlar fərqinin tapılması (mətn məsələsi)
  1. 1Verilir: İki ədədin cəmi 1414, fərqi isə 88-dir. Bu ədədlərin kvadratları fərqini tapmaq tələb olunur.
  2. 2Düsturu seçmək: Kvadratlar fərqi düsturu: x2−y2=(x−y)(x+y)x^2-y^2=(x-y)(x+y), burada x+yx+y və x−yx-y birbaşa verilib.
  3. 3Yerinə qoymaq: x2−y2=(x−y)(x+y)=8⋅14x^2-y^2=(x-y)(x+y)=8\cdot14.
  4. 4Hesablama: 8⋅14=1128\cdot14=112.
  5. 5Nəticə: Ədədlərin kvadratları fərqi 112112-dir; diqqət edin ki, xx və yy-in özlərini tapmağa ehtiyac olmadı.
🚫Tez-tez səhv

(a+b)2(a+b)^2 ifadəsini a2+b2a^2+b^2 kimi açmaq ən geniş yayılmış səhvdir — **ortadakı 2ab2ab həddi unudulmamalıdır**: düzgün açılış a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2-dir.

🚫Tez-tez səhv

Fərqin kvadratında sərbəst həddin işarəsi həmişə **müsbətdir**: (x−5)2=x2−10x+25(x-5)^2=x^2-10x+25, yəni son hədd −25-25 yox, +25+25-dir, çünki (−5)2=25(-5)^2=25.

⚠️Diqqət

(2x+3y)2(2x+3y)^2 kimi əmsallı ifadələrdə orta həddi hesablayarkən **bütün əmsalları** vurun: 2⋅(2x)⋅(3y)=12xy2\cdot(2x)\cdot(3y)=12xy, sadəcə 2xy2xy yox.

⚠️Diqqət

Kvadratlar fərqi düsturunu tərsinə tətbiq edərkən diqqətli olun: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)-dir, amma a2+b2a^2+b^2 vuruqlara bu düsturla ayrılmır.

💡Qeyd

(a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2-(a-b)^2=4ab və (a+b)2+(a−b)2=2a2+2b2(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2 eynilikləri mətn məsələlərində cəm/fərqdən hasili və ya kvadratlar cəmini tapmaq üçün çox faydalıdır.

Qaydalar

  1. 1Düsturları düzgün seçin: əvvəlcə ifadədə hansı düsturun tətbiq olunacağını müəyyənləşdirin.
  2. 2İşarə səhvlərinə yol verməyin: (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
  3. 3Mötərizələri açarkən əmsallara diqqət edin: (ka+mb)2(ka+mb)^2 açılışında 2kmab2kmab həddi yaranır.
  4. 4Kvadratlar fərqi düsturunda (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 olduğunu unutmayın, vuruqların sırası nəticəni dəyişmir.
  5. 5İfadəni sadələşdirərkən oxşar hədləri doğru toplayın.
  6. 6Mətn məsələlərində verilənləri diqqətlə oxuyun, dəyişənləri düzgün təyin edin.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq