m7-4.1· Fəsil 4: Müxtəsər vurma düsturları· ~12 dəq

Cəm və fərqin kvadratı

$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ düsturunun tətbiqi.

Cəmin kvadratı düsturu deyir ki, iki ifadənin cəminin kvadratı birinci həddin kvadratı, üstəgəl iki həddin ikiqat hasili, üstəgəl ikinci həddin kvadratına bərabərdir: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Fərqin kvadratı isə ortadakı həddin işarəsi mənfi olmaqla yazılır: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . Buradakı $2ab$ həddi «ikiqat hasil» adlanır və ən çox səhv məhz bu həddin unudulmasında olur, çünki $(a + b)^2$ heç vaxt sadəcə $a^2 + b^2$ deyil.

Məsələn, $(x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$ , $(x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 9 = x^2 - 6x + 9$ . Bu düsturlar zehni hesablamada da çox faydalıdır: $101^2$ ədədini $101 = 100 + 1$ kimi yazıb $(100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$ alırıq.

Eyni qayda ilə $99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$ olar. Beləliklə, müxtəsər vurma düsturları həm cəbri ifadələri açmağa, həm də böyük ədədləri tez kvadrata yüksəltməyə imkan verir.

Əsas terminlər

Müxtəsər vurma düsturu — İfadələrin hasilini tez açmağa imkan verən hazır cəbri düstur, məsələn

(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

Cəmin kvadratı —

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

— birinci həddin kvadratı, ikiqat hasil və ikinci həddin kvadratının cəmi.

Fərqin kvadratı —

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

— yalnız ortadakı

2ab

həddinin işarəsi mənfi olur.

İkiqat hasil — Düsturdakı

2ab

ortada duran həddir; ən çox unudulan və ya səhv hesablanan hissədir.

Hədd — İfadədəki ayrı-ayrı toplananlar;

(a \pm b)^2

-də

a

birinci,

b

ikinci həddir.

Əmsal — Dəyişənin önündəki ədəd;

(2x)^2 = 4x^2

olduğu üçün əmsal da kvadrata yüksəlir.

İki düstur — müqayisə

İfadə	Açılışı	Ortadakı həddin işarəsi
$(a + b)^2$	$a^2 + 2ab + b^2$	müsbət $+2ab$
$(a - b)^2$	$a^2 - 2ab + b^2$	mənfi $-2ab$

Yalnız ortadakı $2ab$ həddinin işarəsi dəyişir; birinci və sonuncu hədd həmişə müsbətdir.

Nümunələrlə tətbiq

İfadə	İkiqat hasil	Nəticə
$(x + 3)^2$	$2 \cdot x \cdot 3 = 6x$	$x^2 + 6x + 9$
$(2x + 3)^2$	$2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$	$4x^2 + 12x + 9$
$(3x - 1)^2$	$2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x$	$9x^2 - 6x + 1$
$101^2 = (100 + 1)^2$	$2 \cdot 100 \cdot 1 = 200$	$10201$

Əmsallı həddə əmsal da kvadrata yüksəlir: $(2x)^2 = 4x^2$ .

✎

(3x + 2y)^2

ifadəsini açmaq

1Düsturu yaz: Cəmin kvadratı: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , burada $a = 3x$ , $b = 2y$ .
2Birinci həddin kvadratı: $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$ — əmsal da kvadrata yüksəlir.
3İkiqat hasil: $2ab = 2 \cdot 3x \cdot 2y = 12xy$ .
4İkinci həddin kvadratı: $b^2 = (2y)^2 = 4y^2$ .
5Nəticə: $(3x + 2y)^2 = 9x^2 + 12xy + 4y^2$ .

✎

99^2

ədədini düsturla hesablamaq

1Ədədi fərq kimi yaz: $99 = 100 - 1$ , deməli $99^2 = (100 - 1)^2$ , burada $a = 100$ , $b = 1$ .
2Fərqin kvadratı düsturu: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
3Hər həddi hesabla: $a^2 = 100^2 = 10000$ , $2ab = 2 \cdot 100 \cdot 1 = 200$ , $b^2 = 1^2 = 1$ .
4Yerinə qoy: $99^2 = 10000 - 200 + 1$ .
5Nəticə: $99^2 = 9801$ .

🚫Tez-tez səhv

Ən çox səhv ortadakı ikiqat hasilin unudulmasıdır: $(x + 3)^2$ heç vaxt $x^2 + 9$ deyil, doğrusu $x^2 + 6x + 9$ -dur.

🚫Tez-tez səhv

Əmsallı həddə əmsalı da kvadrata yüksəlt: $(2x + 3)^2$ -də $(2x)^2 = 4x^2$ , $2x^2$ deyil.

⚠️Diqqət

Fərqin kvadratında yalnız ortadakı $2ab$ həddi mənfidir; sonuncu hədd $b^2$ həmişə müsbət qalır.

💡Qeyd

İkiqat hasili tapmaq üçün hər iki həddi vur, sonra $2$ -yə vur: $2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$ — sadəcə əmsalları toplama.

💡Qeyd

Böyük ədədi $100$ -ə yaxın cəm və ya fərq kimi yaz: $102 = 100 + 2$ , $98 = 100 - 2$ , sonra düsturla zehni hesabla.

Qaydalar

1 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — birinci həddin kvadratı, ikiqat hasil, ikinci həddin kvadratı.
2 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ — yalnız ortadakı $2ab$ həddinin işarəsi mənfidir.
3Ortadakı $2ab$ həddini heç vaxt unutma: $(a \pm b)^2$ sadəcə $a^2 + b^2$ -yə bərabər deyil.
4Zehni hesablamada ədədi $100$ -ə yaxın iki ədədin cəmi və ya fərqi kimi yaz: $101 = 100 + 1$ , $99 = 100 - 1$ .
5İfadədə dəyişənin qiymətini tapmaq üçün əvvəl düsturla aç, sonra qiyməti yerinə yaz.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq