g9-10.4· Fəsil 10: Rasional ifadələr, tənliklər sistemi və bərabərsizliklər· ~14 dəq

Kvadrat bərabərsizliklər

İntervallar üsulu ilə $ax^2 + bx + c > 0$ tipli bərabərsizliklərin həlli.

Kvadrat bərabərsizlik $ax^2 + bx + c > 0$ (və ya $<$ , $\le$ , $\ge$ ) formasında olan bərabərsizlikdir ( $a \neq 0$ ). Onu həll etmək üçün əvvəlcə $ax^2 + bx + c = 0$ kvadrat tənliyinin köklərini ( $x_1$ , $x_2$ ) tapırıq, sonra parabolanın istiqamətinə baxırıq: $a > 0$ olduqda parabolanın qolları yuxarı, $a < 0$ olduqda aşağı yönəlir.

İntervallar üsulu ilə kökləri ədəd oxuna qoyub işarələri təyin edirik. $a > 0$ üçün $(x - x_1)(x - x_2) > 0$ olarsa həll köklərdən kənardır: $x < x_1$ və ya $x > x_2$ ; $(x - x_1)(x - x_2) < 0$ olarsa həll köklər arasıdır: $x_1 < x < x_2$ . Diskriminant $D < 0$ olduqda üçhədli bütün $x$ üçün eyni işarəni ( $a$ -nın işarəsini) saxlayır, ona görə bərabərsizlik ya bütün ədədlər üçün doğru, ya da heç bir ədəd üçün doğru deyil.

📌Nümunə

Məsələn: $x^2 - 5x + 6 > 0$ üçün köklər $x^2 - 5x + 6 = 0$ -dan $x_1 = 2$ , $x_2 = 3$ ; $a = 1 > 0$ , qollar yuxarı, ona görə müsbət qiymət köklərdən kənarda alınır: cavab $x < 2$ və ya $x > 3$ -dür.

Əsas terminlər

Kvadrat bərabərsizlik —

ax^2 + bx + c > 0

(və ya

<

\le

\ge

) formasında olan bərabərsizlik, burada

a \neq 0

Sərhəd nöqtələri (köklər) —

ax^2 + bx + c = 0

tənliyinin kökləri

x_1 \le x_2

; ədəd oxunu intervallara bölən nöqtələrdir.

Parabolanın qolları —

a > 0

olduqda qollar yuxarı,

a < 0

olduqda aşağı yönəlir; işarələri bu istiqamət təyin edir.

İntervallar üsulu — Kökləri ədəd oxuna qoyub hər intervalda üçhədlinin işarəsini təyin etməklə həlli tapma üsulu.

Diskriminant

D

—

D < 0

olduqda həqiqi kök yoxdur, üçhədli bütün

x

üçün

a

-nın işarəsini saxlayır.

Bağlı və açıq interval —

\le

\ge

hallarında köklər həllə daxildir (bağlı);

<

>

hallarında daxil deyil (açıq).

İşarəyə görə həll qaydası (

a > 0

)

Bərabərsizlik	Həllin yeri	Cavab
$(x-x_1)(x-x_2) > 0$	köklərdən kənar	$x < x_1$ və ya $x > x_2$
$(x-x_1)(x-x_2) < 0$	köklər arası	$x_1 < x < x_2$
$\ge 0$	köklərdən kənar, köklər daxil	$x \le x_1$ və ya $x \ge x_2$
$\le 0$	köklər arası, köklər daxil	$x_1 \le x \le x_2$

$a < 0$ olduqda bərabərsizliyi $a$ -ya bölərkən işarə tərsinə çevrilir.

Diskriminant

D < 0

halı

$a$ -nın işarəsi	Üçhədlinin işarəsi	$> 0$ üçün cavab	$< 0$ üçün cavab
$a > 0$	həmişə müsbət	bütün həqiqi ədədlər	həll yoxdur
$a < 0$	həmişə mənfi	həll yoxdur	bütün həqiqi ədədlər

$D < 0$ olduqda həqiqi kök yoxdur, ifadə işarəsini dəyişmir.

✎

x^2 - 5x + 6 > 0

bərabərsizliyini həll et

1Kökləri tap: $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$ , $x_2 = 3$ .
2Parabolaya bax: $a = 1 > 0$ , qollar yuxarı yönəlir.
3İşarəni təyin et: $> 0$ olduğu üçün həll köklərdən kənardadır.
4Cavab: $x < 2$ və ya $x > 3$ .

✎

2x^2 - 5x - 3 \ge 0

bərabərsizliyini həll et

1Diskriminant: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$ , $\sqrt{D} = 7$ .
2Kökləri tap: $x = \frac{5 \pm 7}{4}$ , yəni $x_1 = \frac{5-7}{4} = -0{,}5$ , $x_2 = \frac{5+7}{4} = 3$ .
3İşarəni təyin et: $a = 2 > 0$ , qollar yuxarı; $\ge 0$ üçün həll köklərdən kənar, köklər daxil.
4Cavab: $x \le -0{,}5$ və ya $x \ge 3$ .

🚫Tez-tez səhv

$a < 0$ halında ( $-x^2 + 4x - 3 > 0$ kimi) $-1$ -ə vurarkən bərabərsizlik işarəsini dəyişməyi unutma: doğru hal $x^2 - 4x + 3 < 0$ , həll köklər arasıdır.

⚠️Diqqət

$\le$ və ya $\ge$ olduqda köklər həllə DAXİLDİR (bağlı interval); $<$ və ya $>$ olduqda daxil deyil. Tam ədəd sayanda bu fərq cavabı dəyişir.

⚠️Diqqət

$x^2 - 6x + 9 > 0$ kimi tam kvadratda kök təkrarlanır ( $x = 3$ ): $> 0$ cavabı $x \neq 3$ olan bütün ədədlərdir, «bütün ədədlər» deyil.

💡Qeyd

$D < 0$ görəndə dərhal işarəyə bax: $a > 0$ ifadəsi həmişə müsbətdir, ona görə $x^2 + 4 > 0$ bütün ədədlər üçün, $x^2 - 4x + 5 < 0$ isə heç bir ədəd üçün doğru deyil.

💡Qeyd

$x^2 < 9$ köklər arası ( $-3 < x < 3$ ), $x^2 > 16$ isə köklərdən kənar ( $x < -4$ və ya $x > 4$ ) — bir tərəfi atmamaq üçün hər iki sərhədi yaz.

Qaydalar

1Əvvəlcə $ax^2 + bx + c = 0$ tənliyinin köklərini tap ( $x_1 \le x_2$ ), sonra $a$ -nın işarəsinə bax.
2 $a > 0$ , qollar yuxarı: $>0 \to$ köklərdən kənar ( $x < x_1$ və ya $x > x_2$ ); $<0 \to$ köklər arası ( $x_1 < x < x_2$ ).
3 $a < 0$ , qollar aşağı: işarələr tərsinə çevrilir; bərabərsizliyi $a$ -ya bölərkən ( $a < 0$ ) işarəni dəyiş.
4 $\le$ və $\ge$ hallarında köklər həllə daxil olur (bağlı interval), $<$ və $>$ hallarında daxil olmur.
5 $D < 0$ olduqda üçhədli $a$ -nın işarəsini saxlayır: ya bütün $x$ üçün doğru, ya da həll yoxdur.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq