g9-10.1· Fəsil 10: Rasional ifadələr, tənliklər sistemi və bərabərsizliklər· ~13 dəq

Rasional ifadələr

Cəbri kəsrlər: sadələşdirmə, əməllər və buraxılmayan qiymətlər

Cəbri (rasional) kəsr — surəti və məxrəci çoxhədlilərdən ibarət olan kəsrdir. Cəbri kəsr yalnız məxrəci sıfırdan fərqli olduqda mənalıdır; məxrəci sıfıra çevirən qiymətlərə buraxılmayan qiymətlər deyilir. Kəsri sadələşdirmək (ixtisar etmək) üçün surət və məxrəci vuruqlara ayırıb ortaq vuruğu ixtisar edirik.

Cəbri kəsrləri vurarkən surəti surətə, məxrəci məxrəcə vururuq; bölərkən birinci kəsri ikincinin tərsinə vururuq. Toplama və çıxmada əvvəlcə ortaq məxrəc tapılır. Çoxhədliləri vuruqlara ayırmaq üçün $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ düsturundan, ümumi vuruğun mötərizə xaricinə çıxarılmasından və ya kvadrat üçhədlinin ayrılmasından istifadə olunur.

📌Nümunə

Məsələn: $\frac{x^2 - 9}{x + 3}$ ifadəsini sadələşdirək. Surəti vuruqlara ayırırıq: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ . Onda $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} = x - 3$ (burada $x \neq -3$ ). $x = 5$ olduqda ifadənin qiyməti $5 - 3 = 2$ olar.

Əsas terminlər

Cəbri (rasional) kəsr — Surəti və məxrəci çoxhədlilərdən ibarət olan kəsr, məsələn

\frac{x^2-9}{x+3}

Buraxılmayan qiymət — Məxrəci sıfıra çevirən qiymət; bu qiymətdə kəsr mənasız olur (məxrəc

\neq 0

şərti).

İxtisar (sadələşdirmə) — Surət və məxrəci vuruqlara ayırıb yalnız ortaq vuruğu ləğv etmək.

Ortaq vuruq — Surət və məxrəcdə eyni olan və ixtisar oluna bilən vuruq; toplanan deyil.

Ortaq məxrəc — Toplama və çıxmada kəsrlərin gətirildiyi vahid məxrəc, məsələn

\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}

üçün

2x

Kvadratlar fərqi —

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

düsturu; vuruqlara ayırmanın əsas vasitəsi.

Cəbri kəsrlərlə əməllər

Əməl	Qayda	Nümunə
İxtisar	Ortaq vuruğu ləğv et	$\frac{6x}{9x}=\frac{2}{3}$
Vurma	Surət $\cdot$ surət / məxrəc $\cdot$ məxrəc	$\frac{x}{3}\cdot\frac{6}{x}=2$
Bölmə	İkinci kəsri çevirib vur	$\frac{7}{x}:\frac{2}{x}=\frac{7}{2}$
Toplama/çıxma	Ortaq məxrəcə gətir	$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$

Hər əməldən sonra nəticəni sadələşdirmək lazımdır.

Vuruqlara ayırma vasitələri

Vasitə	Düstur / Nümunə
Kvadratlar fərqi	$x^2-16=(x-4)(x+4)$
Ümumi vuruq	$3x+6=3(x+2)$
Kvadrat üçhədli	$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$
Tam kvadrat	$x^2+6x+9=(x+3)^2$

Üçhədlidə vuruqların cəmi $b$ , hasili $c$ olur.

✎Sadələşdir və qiymət tap:

\frac{x^2-25}{x^2-10x+25}

x=7

1Surəti ayır: Kvadratlar fərqi: $x^2-25=(x-5)(x+5)$ .
2Məxrəci ayır: Tam kvadrat: $x^2-10x+25=(x-5)^2$ .
3İxtisar et: $\frac{(x-5)(x+5)}{(x-5)^2}=\frac{x+5}{x-5}$ (burada $x\neq 5$ ).
4Qiyməti hesabla: $x=7$ : $\frac{7+5}{7-5}=\frac{12}{2}=6$ .

✎Çıxma və qiymət tap:

\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}

x=3

1Ortaq məxrəc: Ortaq məxrəc $(x-2)(x+2)=x^2-4$ .
2Surətləri çıx: $\frac{(x+2)-(x-2)}{x^2-4}=\frac{4}{x^2-4}$ .
3Qiyməti hesabla: $x=3$ : $\frac{4}{9-4}=\frac{4}{5}=0{,}8$ .

🚫Tez-tez səhv

$\frac{6x}{9x}$ -də $x$ həm surətdə, həm məxrəcdə ortaq vuruqdur və tamamilə ixtisar olunur — cavab $\frac{2x}{3}$ deyil, $\frac{2}{3}$ -dür.

⚠️Diqqət

Yalnız ORTAQ VURUĞU ixtisar et, toplananı yox. Vuruqlara ayırmadan kəsri sadələşdirmək olmaz.

⚠️Diqqət

Bölmədə İKİNCİ kəsr tərsinə çevrilir: $\frac{7}{x}:\frac{2}{x}=\frac{7}{2}$ , $\frac{2}{7}$ deyil.

⚠️Diqqət

Toplamada məxrəclər bir-birinə vurulmur; ortaq məxrəc götürülür. $\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$ , $\frac{2}{x^2}$ deyil.

💡Qeyd

Buraxılmayan qiyməti tapmaq üçün yalnız MƏXRƏCİ sıfıra bərabər et: $\frac{5}{x-2}$ üçün $x-2=0$ , yəni $x=2$ .

Qaydalar

1Cəbri kəsr yalnız məxrəc $\neq 0$ olduqda mənalıdır; məxrəci sıfır edən qiymətlər buraxılmayan qiymətlərdir.
2Sadələşdirmə üçün surət və məxrəci vuruqlara ayırıb yalnız ORTAQ VURUĞU (toplananı yox!) ixtisar et.
3Vurma: surət $\times$ surət / məxrəc $\times$ məxrəc. Bölmə: ikinci kəsri çevirib (tərsinə) vur.
4Toplama/çıxma: ortaq məxrəcə gətir, surətləri uyğun topla və ya çıx, sonra sadələşdir.
5Vuruqlara ayırma vasitələri: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ , ümumi vuruq, kvadrat üçhədli $x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)$ .

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq