m7-10.3· Bölmə 5. Üçbucaqlar· ~13 dəq

Üçbucağın elementləri: tənbölən, median, hündürlük

Tənbölən, median və hündürlüyün tərifi, qurulması və kəsişmə xassələri.

Üçbucağın əsas elementləri tənbölən, median və hündürlükdür. Tənbölən – üçbucağın daxili bucağını yarı bölən şüadır. Median – təpə nöqtəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən parçadır. Hündürlük – təpədən qarşı tərəfə (və ya onun uzantısına) perpendikulyar endirilən parçadır. Hər üç elementin kəsişmə nöqtələri vardır: medianlar bir nöqtədə kəsişir (ağırlıq mərkəzi), tənbölənlər bir nöqtədə kəsişir (daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi), hündürlüklər bir nöqtədə kəsişir (ortamərkəz). Üçbucaq şəkilli cismin ağırlıq mərkəzi bu nöqtəyə düşür. Tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsi üçbucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir.

📌Nümunə

Məsələn: ABC üçbucağında AD medianı BC tərəfinin ortasından keçir. AD həm də hündürlük olarsa, onda AB = AC, yəni üçbucaq bərabəryanlıdır.

Qrafiklər

ABC üçbucağında A-dan çəkilən üç element: AD medianı D-ni BC-nin ortası ilə birləşdirir, AE tənböləndir, AH isə BC-yə perpendikulyar hündürlükdür.
ABC üçbucağında A-dan çəkilən üç element: AD medianı D-ni BC-nin ortası ilə birləşdirir, AE tənböləndir, AH isə BC-yə perpendikulyar hündürlükdür.

Əsas terminlər

Tənbölən — Üçbucağın daxili bucağını iki bərabər hissəyə bölən şüa.
Median — Üçbucağın təpə nöqtəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən parça.
Hündürlük — Təpədən qarşı tərəfə (və ya onun uzantısına) perpendikulyar endirilən parça; AD⊥BCAD\perp BC.
Ağırlıq mərkəzi — Üçbucağın üç medianının kəsişdiyi nöqtə; üçbucaq şəkilli cismin ağırlıq mərkəzi bu nöqtəyə düşür.
Daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi — Üç tənböləninin kəsişmə nöqtəsi; üçbucağın hər üç tərəfindən bərabər məsafədədir.
Ortamərkəz — Üç hündürlüyün kəsişmə nöqtəsi; kütbucaqlı üçbucaqda üçbucağın xaricində yerləşə bilər.
Üçbucağın üç əsas elementi
ElementTərifXassə
TənbölənDaxili bucağı iki bərabər hissəyə bölən şüaHəmişə üçbucağın daxilində yerləşir
MedianTəpəni qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən parçaHəmişə üçbucağın daxilində yerləşir
HündürlükTəpədən qarşı tərəfə perpendikulyar (⊥\perp) parçaKütbucaqlı üçbucaqda xaricdə ola bilər

Hər üç element eyni təpədən çəkilir, lakin fərqli qaydalarla təyin olunur; bərabəryanlı üçbucaqda oturacağa çəkilən median eyni zamanda tənbölən və hündürlükdür.

Üç elementin kəsişmə nöqtələri
Kəsişən elementlərKəsişmə nöqtəsinin adıƏsas xassə
MedianlarAğırlıq mərkəziÜçbucaq şəklindəki cismin ağırlıq mərkəzi bu nöqtəyə düşür
TənbölənlərDaxilə çəkilmiş çevrənin mərkəziÜçbucağın tərəflərindən bərabər məsafədədir
HündürlüklərOrtamərkəzKütbucaqlı üçbucaqda üçbucağın xaricində yerləşir

Bütün üçbucaqlarda medianlar və tənbölənlər daxildə kəsişir; hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsi isə üçbucağın növündən (iti/düz/küt) asılı olaraq dəyişir.

✎Median yarımseqmentlərindən perimetrin tapılması
  1. 1Verilir: ABCABC üçbucağında ATAT, BPBP, CFCF medianlardır; AP=4,3AP=4{,}3 sm, AF=2,1AF=2{,}1 sm və CT=5,6CT=5{,}6 sm-dir.
  2. 2Qayda: Median qarşı tərəfin ortasından keçdiyi üçün hər tərəf öz yarımseqmentinin iki mislinə bərabərdir: AC=2⋅APAC=2\cdot AP, AB=2⋅AFAB=2\cdot AF, BC=2⋅CTBC=2\cdot CT.
  3. 3Hesablama: AC=2⋅4,3=8,6AC=2\cdot4{,}3=8{,}6 sm, AB=2⋅2,1=4,2AB=2\cdot2{,}1=4{,}2 sm, BC=2⋅5,6=11,2BC=2\cdot5{,}6=11{,}2 sm.
  4. 4Nəticə: Perimetr: 8,6+4,2+11,2=248{,}6+4{,}2+11{,}2=24 sm.
✎Median həm də hündürlükdürsə, üçbucaq bərabəryanlıdır (isbat)
  1. 1Verilir: ABCABC üçbucağında DD nöqtəsi BCBC tərəfinin ortasıdır (yəni ADAD mediandır: BD=DCBD=DC) və AD⊥BCAD\perp BC (yəni ADAD həm də hündürlükdür).
  2. 2İsbat etməli: AB=ACAB=AC, yəni △ABC\triangle ABC bərabəryanlıdır.
  3. 31-ci addım: ADAD parçası ABDABD və ACDACD üçbucaqları üçün ortaq tərəfdir.
  4. 42-ci addım: BD=DCBD=DC (median tərifinə görə, DD ortadır).
  5. 53-cü addım: ∠ADB=∠ADC=90∘\angle ADB=\angle ADC=90^\circ (hündürlük tərifinə görə, AD⊥BCAD\perp BC).
  6. 6Nəticə: ABDABD və ACDACD düzbucaqlı üçbucaqlarında iki katet (ADAD ortaq, BD=DCBD=DC) uyğun gəldiyindən bu üçbucaqlar bərabərdir, deməli AB=ACAB=AC — üçbucaq bərabəryanlıdır.
🚫Tez-tez səhv

Median, tənbölən və hündürlüyü qarışdırmayın: median tərəfin **ortasına**, tənbölən bucağın **yarısına**, hündürlük isə **perpendikulyar** istiqamətə aiddir — «AD ⟂ BC» yazılıbsa, bu hündürlükdür, median deyil.

🚫Tez-tez səhv

Ağırlıq mərkəzini tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsi (daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi) ilə qarışdırmayın: hər ikisi fərqli parçaların (median və tənbölən) kəsişməsindən alınan fərqli nöqtələrdir.

⚠️Diqqət

Kütbucaqlı üçbucaqda hündürlüklərin (yəni ortamərkəzin) üçbucağın xaricinə düşə biləcəyini unutmayın — bu, medianlara və tənbölənlərə aid deyil, onlar həmişə daxildə kəsişir.

💡Qeyd

Bərabərtərəfli üçbucaqda eyni təpədən çəkilən tənbölən, median və hündürlük üst-üstə düşür — bu, sürətli yoxlama üsuludur.

💡Qeyd

Bərabəryanlı üçbucaqda oturacağa çəkilən median **eyni zamanda** tənbölən və hündürlükdür; bu xüsusiyyət yalnız oturacağa çəkilən mediana aiddir, yan tərəflərə çəkilən medianlara yox.

Qaydalar

  1. 1Tənbölən bucağı iki bərabər hissəyə bölür.
  2. 2Median təpəni qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirir.
  3. 3Hündürlük təpədən qarşı tərəfə perpendikulyar endirilir.
  4. 4Üçbucağın bütün medianları bir nöqtədə kəsişir.
  5. 5Tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsi daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir.
  6. 6Hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsi ortamərkəz adlanır.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq