m8-5.2· Fəsil 5: Bərabərsizlik, triqonometriya və statistika· ~13 dəq

Düzbucaqlı üçbucaqda sin, cos, tan

İti bucağın triqonometrik nisbətləri.

Düzbucaqlı üçbucaqda hər hansı bir iti bucaq üçün üç əsas triqonometrik nisbət müəyyən edilir. Sinus (sin) — bucağa qarşı tərəfin hipotenüzə nisbətidir: sin⁡α=qars¸ıhipotenuz\sin \alpha = \frac{\text{qarşı}}{\text{hipotenuz}}. Kosinus (cos) — bucağa qonşu katetin hipotenüzə nisbətidir: cos⁡α=qons¸uhipotenuz\cos \alpha = \frac{\text{qonşu}}{\text{hipotenuz}}. Tangens (tan) — bucağa qarşı katetin qonşu katetə nisbətidir: tan⁡α=qars¸ıqons¸u\tan \alpha = \frac{\text{qarşı}}{\text{qonşu}}.

Bu nisbətlər üçbucağın ölçüsündən asılı olmayıb, yalnız bucağın dəyərindən asılıdır. Standart bucaqlar üçün yadda saxlamaq lazım olan dəyərlər: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, cos⁡30∘=32\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, tan⁡30∘=13=33\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}; sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1; sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}. Bu dəyərləri bilmək üçbucağın naməlum tərəflərini tapmağa imkan verir.

📌Nümunə

Məsələn: düzbucaqlı üçbucaqda hipotenüz 1010 sm, bir iti bucaq 30∘30^\circ olduqda, qarşı kateti tapaq: sin⁡30∘=katet10\sin 30^\circ = \frac{\text{katet}}{10}, deməli katet =10×12=5= 10 \times \frac{1}{2} = 5 sm.

Qrafiklər

Düzbucaqlı üçbucaqda α bucağı: qarşı katet, qonşu katet və hipotenuz
Düzbucaqlı üçbucaqda α bucağı: qarşı katet, qonşu katet və hipotenuz

Əsas terminlər

Hipotenuz — Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucağın qarşısındakı ən uzun tərəf.
Katet — Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucağı əmələ gətirən iki tərəfdən hər biri.
Sinus — İti bucağa qarşı katetin hipotenüzə nisbəti: sin⁡α=qars¸ıhipotenuz\sin \alpha = \frac{\text{qarşı}}{\text{hipotenuz}}.
Kosinus — İti bucağa qonşu katetin hipotenüzə nisbəti: cos⁡α=qons¸uhipotenuz\cos \alpha = \frac{\text{qonşu}}{\text{hipotenuz}}.
Tangens — İti bucağa qarşı katetin qonşu katetə nisbəti: tan⁡α=qars¸ıqons¸u\tan \alpha = \frac{\text{qarşı}}{\text{qonşu}}.
Standart bucaqlar — 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ — triqonometrik nisbətləri yadda saxlanılan bucaqlar.
Üç əsas triqonometrik nisbət
NisbətDüsturTərs əməl
sin⁡α\sin \alphaqars¸ı katethipotenuz\frac{\text{qarşı katet}}{\text{hipotenuz}}qarşı =hipotenuz⋅sin⁡α= \text{hipotenuz} \cdot \sin \alpha
cos⁡α\cos \alphaqons¸u katethipotenuz\frac{\text{qonşu katet}}{\text{hipotenuz}}qonşu =hipotenuz⋅cos⁡α= \text{hipotenuz} \cdot \cos \alpha
tan⁡α\tan \alphaqars¸ı katetqons¸u katet\frac{\text{qarşı katet}}{\text{qonşu katet}}tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Nisbətlər üçbucağın ölçüsündən deyil, yalnız bucağın dəyərindən asılıdır.

Standart bucaqların dəyərləri
Bucaqsin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
30∘30^\circ12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}33\frac{\sqrt{3}}{3}
45∘45^\circ22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}11
60∘60^\circ32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}

sin⁡30∘=cos⁡60∘\sin 30^\circ = \cos 60^\circ və sin⁡60∘=cos⁡30∘\sin 60^\circ = \cos 30^\circ — qarşılıqlı uyğunluğa diqqət.

✎Hipotenuz və bucaqdan kateti tapmaq
  1. 1Verilən: Hipotenuz 1010 sm, iti bucaq 30∘30^\circ. Bu bucağa qarşı kateti tapın.
  2. 2Düsturu seç: Qarşı katet üçün sinus: sin⁡30∘=katet10\sin 30^\circ = \frac{\text{katet}}{10}.
  3. 3Dəyəri yerinə qoy: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, deməli katet10=12\frac{\text{katet}}{10} = \frac{1}{2}.
  4. 4Həll et: katet=10⋅12=5\text{katet} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 sm.
  5. 5Cavab: Qarşı katet =5= 5 sm.
✎Tərəflərdən tangensi tapmaq (Pifaqorla)
  1. 1Verilən: Katet 88 sm, hipotenuz 1010 sm. tan⁡β\tan \beta-nı tapın (β\beta — bu katetə qonşu iti bucaq).
  2. 2Digər kateti tap: Pifaqor teoremi: katet2+82=102\text{katet}^2 + 8^2 = 10^2, yəni katet2=100−64=36\text{katet}^2 = 100 - 64 = 36, deməli digər katet =6= 6 sm.
  3. 3Tərəfləri təyin et: β\beta-ya qonşu katet 88, qarşı katet 66 olur.
  4. 4Tangensi hesabla: tan⁡β=qars¸ıqons¸u=68=34\tan \beta = \frac{\text{qarşı}}{\text{qonşu}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.
  5. 5Cavab: tan⁡β=34\tan \beta = \frac{3}{4}.
🚫Tez-tez səhv

Tərəfləri qarışdırma: qons¸uhipotenuz\frac{\text{qonşu}}{\text{hipotenuz}} kosinusdur, qars¸ıqons¸u\frac{\text{qarşı}}{\text{qonşu}} isə tangensdir — sinus deyil. Sinus həmişə qars¸ıhipotenuz\frac{\text{qarşı}}{\text{hipotenuz}}-dır.

🚫Tez-tez səhv

Bir bucağa görə tərəfi seçərkən «qarşı» və «qonşu» kateti dəyişik salma. Məsələn tan⁡β\tan \beta üçün β\beta-ya qonşu kateti məxrəcə yaz, qarşını isə suraya.

⚠️Diqqət

Triqonometrik nisbət heç vaxt 11-dən böyük ola bilməz (məs. sin⁡\sin, cos⁡\cos üçün). 2524>1\frac{25}{24} > 1 kimi cavab dərhal səhvdir.

💡Qeyd

Yadda saxla: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} — surat 1,2,3\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3} ardıcıllığıdır, hamısı 22-yə bölünür.

💡Qeyd

Naməlum kateti tapmaq üçün Pifaqor teoremindən istifadə et: katet2+katet2=hipotenuz2\text{katet}^2 + \text{katet}^2 = \text{hipotenuz}^2.

Qaydalar

  1. 1sin⁡α=qars¸ı katethipotenuz\sin \alpha = \frac{\text{qarşı katet}}{\text{hipotenuz}}; cos⁡α=qons¸u katethipotenuz\cos \alpha = \frac{\text{qonşu katet}}{\text{hipotenuz}}; tan⁡α=qars¸ı katetqons¸u katet\tan \alpha = \frac{\text{qarşı katet}}{\text{qonşu katet}}
  2. 2Naməlum kateti tapmaq üçün Pifaqor teoremindən istifadə olunur: katet2+katet2=hipotenuz2\text{katet}^2 + \text{katet}^2 = \text{hipotenuz}^2
  3. 330∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ üçün standart dəyərlər: sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
  4. 4Naməlum tərəfi tapmaq üçün: tərəf=hipotenuz×sin⁡α\text{tərəf} = \text{hipotenuz} \times \sin \alpha (və ya cos⁡α\cos \alpha, bucağa görə)
  5. 5tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}; tan⁡30∘=33\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1, tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq