m8-5.3· Fəsil 5: Bərabərsizlik, triqonometriya və statistika· ~13 dəq

Statistika və ehtimal

Orta qiymət, moda, median və sadə ehtimal.

Statistikada məlumat dəstini xarakterizə etmək üçün mərkəzi meyl göstəriciləri istifadə edilir. Ədədi orta (arifmetik orta) bütün qiymətlərin cəminin qiymət sayına bölünməsi ilə tapılır. Moda ən çox təkrarlanan qiymətdir; bəzən iki və ya daha çox moda ola bilər. Median dəsti artan (və ya azalan) sıraya düzdükdə ortada duran qiymətdir: əgər say tək isə — ortadakı element, say cüt isə — iki orta elementin arifmetik ortasıdır.

Əhatə (diapazon) ən böyük ilə ən kiçik qiymət arasındakı fərqdir. Sadə (klassik) ehtimal isə $P = \frac{m}{n}$ düsturu ilə hesablanır; burada $m$ — əlverişli nəticə sayı, $n$ — bütün bərabər ehtimallı nəticə sayıdır; cavab həmişə $0$ ilə $1$ arasında olur.

📌Nümunə

Məsələn: $2, 5, 5, 7, 11$ dəstinin modası $5$ , medianı $5$ , orta qiyməti $\frac{2+5+5+7+11}{5} = 6$ , əhatəsi isə $11 - 2 = 9$ -dur.

Əsas terminlər

Ədədi orta (arifmetik orta) — Bütün qiymətlərin cəminin qiymət sayına bölünməsi:

\frac{\text{cəm}}{\text{say}}

Moda — Dəstdə ən çox təkrarlanan qiymət; bəzən iki və ya daha çox moda ola, bəzən isə heç olmaya bilər.

Median — Dəst artan sıraya düzüldükdə ortada duran qiymət; say cüt isə iki orta elementin arifmetik ortası.

Əhatə (range) — Ən böyük qiymət ilə ən kiçik qiymət arasındakı fərq: maks

-

min.

Klassik ehtimal —

P(A) = \frac{m}{n}

; burada

m

— əlverişli nəticə sayı,

n

— bütün bərabər ehtimallı nəticə sayı.

Əlverişli nəticə — Hadisənin baş verməsini təmin edən nəticələr; sayı

m

ilə işarələnir və

0 \le P \le 1

olur.

Mərkəzi meyl göstəriciləri və düsturlar

Göstərici	Düstur / qayda	Nümunə ( $2, 5, 5, 7, 11$ )
Ədədi orta	$\frac{\text{cəm}}{\text{say}}$	$\frac{2+5+5+7+11}{5} = 6$
Moda	ən çox təkrarlanan qiymət	$5$
Median	sıralı dəstin ortadakı qiyməti	$5$
Əhatə	maks $-$ min	$11 - 2 = 9$
Ehtimal	$P = \frac{m}{n}$	$0 \le P \le 1$

Lessondakı $2, 5, 5, 7, 11$ dəsti üçün hesablanmış göstəricilər.

Median: say tək və ya cüt olduqda

Element sayı	Qayda	Nümunə
Tək	ortadakı bir element	$1, 3, 5, 7, 9 \rightarrow 5$
Cüt	iki orta elementin ortası	$2, 3, 5, 6, 8, 9 \rightarrow \frac{5+6}{2} = 5{,}5$

Cüt sayda elementdə median iki orta elementin arifmetik ortasıdır.

✎Cüt elementli dəstin medianı:

2, 5, 3, 8, 5, 6

1Artan sıraya düz: $2, 3, 5, 5, 6, 8$ — dəstdə $6$ element var (cüt say).
2Orta elementləri tap: Cüt say olduğu üçün $3$ -cü və $4$ -cü elementlər orta sayılır: $5$ və $6$ .
3Ortasını hesabla: Median $= \frac{5+6}{2} = \frac{11}{2} = 5{,}5$ .
4Cavab: Median $= 5{,}5$ .

✎Çıxarılan ən böyük ədəd:

7

ədədin ortası

12

1Ümumi cəmi tap: $7$ ədədin ortası $12$ olduğundan cəm $= 12 \times 7 = 84$ .
2Qalan $6$ ədədin cəmi: Ən böyük ədəd çıxarıldıqda $6$ ədədin ortası $10$ olur, deməli cəm $= 10 \times 6 = 60$ .
3Çıxarılan ədədi tap: Çıxarılan ən böyük ədəd $= 84 - 60 = 24$ .
4Cavab: Çıxarılan ən böyük ədəd $= 24$ .

🚫Tez-tez səhv

Cəmi orta ilə qarışdırma: $6, 6, 6, 6$ üçün cavab $24$ (cəm) deyil — orta $= 24 \div 4 = 6$ -dır.

🚫Tez-tez səhv

Cüt sayda elementdə medianı dəstdən bir ədəd kimi seçmə; iki orta elementin ortasını al: $\frac{5+6}{2} = 5{,}5$ .

⚠️Diqqət

Ehtimalda məxrəc bütün nəticə sayıdır: zərdə $3$ -ün düşmə ehtimalı $\frac{1}{6}$ , $\frac{1}{3}$ deyil — yalnız bir əlverişli üz var.

⚠️Diqqət

İki müstəqil hadisədə ehtimallar vurulur: hər iki atımda cüt düşmə $= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ .

💡Qeyd

Bərabər addımlı (arifmetik) dəstdə orta həm də ortadakı qiymətə bərabərdir: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13$ üçün orta $= 7$ .

Qaydalar

1Ədədi orta $= \frac{\text{bütün qiymətlərin cəmi}}{\text{qiymətlərin sayı}}$ .
2Median: dəsti artan sıraya düz; say tək isə orta element, say cüt isə iki orta elementin ortası.
3Moda ən çox təkrarlanan qiymətdir; bəzən dəstin modası olmaya da bilər (hamı birdən təkrarlanırsa).
4Əhatə (range) $=$ ən böyük qiymət $-$ ən kiçik qiymət.
5Klassik ehtimal: $P(A) = \frac{m}{n}$ , burada $m$ — əlverişli nəticə sayı, $n$ — bütün bərabər ehtimallı nəticə sayı; $0 \le P(A) \le 1$ .

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq