m8-4.4· Fəsil 4: Həndəsə· ~13 dəq

Oxşar üçbucaqlar və sahələr

Oxşarlıq əmsalı və sahələrin nisbəti.

İki üçbucaq oxşardır, əgər onların müvafiq bucaqları bərabər olub müvafiq tərəfləri proporsionaldırsa. Oxşarlıq əmsalı $k$ — bir üçbucağın tərəfinin müvafiq tərəfə nisbətidir; bütün üç cüt tərəf üçün bu nisbət eynidir. Oxşarlığın üç əlaməti var: bütün müvafiq bucaqların bərabərliyi (UUU əlaməti), iki müvafiq tərəfin nisbəti bərabər olub aralarındakı bucaqlar bərabər olduqda (TUT əlaməti), həmçinin üç cüt müvafiq tərəfin nisbəti bərabər olduqda (TTT əlaməti).

Sahə oxşarlıq əmsalının kvadratı ilə dəyişir: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$ . Bu o deməkdir ki, oxşarlıq əmsalı $2$ olduqda birinci üçbucağın sahəsi ikincinin sahəsindən $4$ dəfə böyük olar. Perimetrlər isə $k$ dəfə fərqlənir, sahələr isə $k^2$ dəfə. Naməlum tərəfi tapmaq üçün mütənasib tərəflərin nisbəti bərabərliyi (proporsiya) tərtib edib həll etmək kifayətdir.

📌Nümunə

Məsələn, iki oxşar üçbucaqda müvafiq tərəflər $6$ sm və $9$ sm olduqda $k = \frac{9}{6} = 1,5$ və sahələrin nisbəti $k^2 = 2,25$ olar.

Əsas terminlər

Oxşar üçbucaqlar — Müvafiq bucaqları bərabər, müvafiq tərəfləri proporsional olan üçbucaqlar. İşarəsi

\triangle ABC \sim \triangle DEF

Oxşarlıq əmsalı

k

— Bir üçbucağın tərəfinin digərinin müvafiq tərəfinə nisbəti (

k > 0

); bütün cüt tərəflər üçün eynidir.

Sahələrin nisbəti — Oxşar üçbucaqlarda sahələr oxşarlıq əmsalının kvadratı qədər fərqlənir:

\frac{S_1}{S_2} = k^2

Perimetrlərin nisbəti — Oxşar üçbucaqlarda perimetrlər oxşarlıq əmsalı

k

qədər fərqlənir, sahələr isə

k^2

qədər.

Oxşarlıq əlamətləri — Üçbucaqların oxşarlığını təmin edən şərtlər: UUU (bucaqlar), TTT (tərəflər), TUT (iki tərəf və aralarındakı bucaq).

Konqruent üçbucaqlar — Oxşarlıq əmsalı

k = 1

olan üçbucaqlar bərabərdir (konqruentdir); sahələrinin nisbəti də

1

-dir.

Oxşar üçbucaqlarda nisbətlər

Kəmiyyət	Nisbət	Nümunə ( $k = \frac{3}{2}$ )
Tərəflər	$k$	$\frac{3}{2}$
Perimetrlər	$k$	$\frac{3}{2}$
Hündürlüklər	$k$	$\frac{3}{2}$
Sahələr	$k^2$	$\frac{9}{4}$

Xətti ölçülər $k$ ilə, sahə isə $k^2$ ilə dəyişir.

Üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri

Əlamət	Şərt
UUU	İki cüt müvafiq bucaq bərabərdir (üçüncü avtomatik bərabər olur).
TTT	Üç cüt müvafiq tərəfin nisbəti bərabərdir.
TUT	İki cüt müvafiq tərəfin nisbəti bərabər, aralarındakı bucaqlar eynidir.

Üç əlamətdən biri ödənərsə üçbucaqlar oxşardır.

✎Sahələrin nisbətindən oxşarlıq əmsalını tapmaq

1Verilən: İki oxşar üçbucağın sahələrinin nisbəti $\frac{S_1}{S_2} = \frac{25}{4}$ , $S_1 > S_2$ . $k = ?$
2Düstur: Sahələrin nisbəti $\frac{S_1}{S_2} = k^2$ olduğundan $k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$ .
3Kök al: $k = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$ .
4Cavab: $k = \frac{5}{2}$ .

✎Oxşarlıq əmsalı ilə sahənin tapılması

1Verilən: $\triangle DEF \sim \triangle ABC$ , $S(ABC) = 48$ sm², $k = \frac{1}{2}$ (DEF kiçikdir). $S(DEF) = ?$
2Düstur: Sahə $k^2$ ilə dəyişir: $S(DEF) = S(ABC) \cdot k^2$ .
3 $k^2$ hesabla: $k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ .
4Sahəni tap: $S(DEF) = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12$ sm².
5Cavab: $S(DEF) = 12$ sm². (Diqqət: $48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ səhvdir, çünki sahə $k$ ilə yox, $k^2$ ilə dəyişir.)

🚫Tez-tez səhv

Sahə $k$ ilə yox, $k^2$ ilə dəyişir. Perimetrlərin nisbəti $2:3$ olsa, sahələrin nisbəti $\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ -dur, $2:3$ deyil.

⚠️Diqqət

Sahələrin nisbəti verilərsə, oxşarlıq əmsalını tapmaq üçün kök al: $k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$ . Məsələn $\frac{25}{4}$ verildikdə $k = \frac{5}{2}$ , $\frac{25}{4}$ deyil.

💡Qeyd

Oxşarlıq əmsalı yönlüdür: böyükdən kiçiyə $k > 1$ , kiçikdən böyüyə $k < 1$ . Hansı üçbucaqdan hansına keçdiyini diqqətlə müəyyən et.

💡Qeyd

$k = 1$ olduqda üçbucaqlar həm oxşar, həm də bərabərdir (konqruent); tərəflər və sahələr eyni olur.

Qaydalar

1Oxşarlıq əmsalı: $k =$ müvafiq tərəflər nisbəti ( $k > 0$ ); bütün cüt tərəflər üçün eyni olmalıdır.
2Sahələrin nisbəti: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$ , yəni oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.
3UUU əlaməti: üç cüt müvafiq bucaqlar bərabərdirsə, üçbucaqlar oxşardır (iki cüt kifayətdir).
4TTT əlaməti: üç cüt müvafiq tərəflərin nisbəti bərabərdirsə, üçbucaqlar oxşardır.
5TUT əlaməti: iki cüt müvafiq tərəflərin nisbəti bərabər olub aralarındakı bucaqlar eyni olduqda üçbucaqlar oxşardır.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq