m8-1.2· Fəsil 1: Rasional ifadələr· ~13 dəq

Kəsr-rasional tənliklər

ODZ, kənar köklərin yoxlanması.

Kəsr-rasional tənlik ən azı bir məchulun məxrəcdə iştirak etdiyi tənlikdir. Belə tənliyi həll etmək üçün üç mərhələ var. Birinci addım: ODZ-ni (ümumi dəyişənin mümkün dəyərlərinin çoxluğunu) müəyyənləşdirmək — hər məxrəci sıfıra bərabər edən $x$ dəyərləri ODZ-dən çıxarılır, çünki sıfıra bölünmə mümkün deyil. İkinci addım: tənliyin hər iki tərəfini bütün məxrəclərin ortaq məxrəcinə vurmaq — bu əməliyyat kəsrləri ləğv edir və tam tənlik alınır.

Üçüncü — ən vacib! — addım: tapılan hər kökü ODZ-yə yoxlamaq; ODZ-yə uymayan köklər «kənar köklər» adlanır və mütləq cavabdan çıxarılmalıdır. Kənar kökün yaranma səbəbi budur ki, hər iki tərəfi məxrəcə vurduqda həll çoxluğu genişlənə bilər.

📌Nümunə

Məsələn, $\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2} + 3$ tənliyini həll edək: ODZ: $x \neq 2$ . Hər iki tərəfi $(x-2)$ -yə vuruq: $x = 2 + 3(x-2) = 3x - 4$ , buradan $x = 2$ alınır. Lakin $x = 2$ ODZ-dən xaric olduğu üçün bu kənar köklərdir və tənliyin həli yoxdur.

Əsas terminlər

Kəsr-rasional tənlik — Ən azı bir məchulun məxrəcdə iştirak etdiyi tənlik, məsələn

\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2} + 3

ODZ — Dəyişənin mümkün dəyərlərinin çoxluğu; hər məxrəci sıfıra bərabər edən

x

dəyərləri bu çoxluqdan çıxarılır.

Ortaq məxrəc — Bütün kəsrlərin məxrəclərinin ortaq qatı; hər iki tərəfi ona vurmaq kəsrləri ləğv edir və tam tənlik verir.

Kənar kök — Tapılan, lakin ODZ-yə uymayan kök; məxrəci sıfır etdiyi üçün cavabdan mütləq çıxarılır.

Boş həll çoxluğu — Bütün tapılan köklər kənar çıxdıqda tənliyin həlli olmur; bu hal

\varnothing

ilə işarələnir.

Köklərin yoxlanması — Hər tapılan kökü ODZ-yə yoxlamaq mərhələsi; kənar kökləri aşkarlayıb cavabdan çıxarmaq üçündür.

Həll mərhələləri

Addım	Əməliyyat
1. ODZ	Hər məxrəci sıfıra bərabər edən $x$ dəyərlərini çıxar
2. Vurma	Hər iki tərəfi ortaq məxrəcə vur, kəsrləri ləğv et
3. Həll	Alınan tam tənliyi (xətti və ya kvadrat) həll et
4. Yoxlama	Hər kökü ODZ-yə yoxla, kənar kökləri çıxar

Kəsr-rasional tənliyin dörd addımı.

ODZ nümunələri

Tənlik	Məxrəc sıfır	ODZ
$\frac{7}{x+4} = 1$	$x + 4 = 0$	$x \neq -4$
$\frac{x}{x-5} = 0$	$x - 5 = 0$	$x \neq 5$
$\frac{4}{x^2-9} = \frac{1}{x-3}$	$x = 3,\ x = -3$	$x \neq \pm 3$

Məxrəci sıfır edən dəyər ODZ-dən çıxarılır.

✎Kənar kök səbəbindən həll yoxdur

1Tənlik: $\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2} + 3$ tənliyini həll et.
2ODZ: Məxrəc $x - 2 = 0$ , yəni $x = 2$ xaric edilir: $x \neq 2$ .
3Ortaq məxrəcə vur: Hər iki tərəfi $(x-2)$ -yə vur: $x = 2 + 3(x-2)$ .
4Sadələşdir: $x = 2 + 3x - 6 = 3x - 4$ .
5Həll et: $x - 3x = -4$ , yəni $-2x = -4$ , buradan $x = 2$ .
6Yoxlama: $x = 2$ ODZ-dən xaricdir → kənar kökdür. Tənliyin həlli yoxdur ( $\varnothing$ ).

✎ODZ-yə uyğun tək kök

1Tənlik: $\frac{4}{x^2-9} = \frac{1}{x-3}$ tənliyini həll et.
2ODZ: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ olduğundan $x \neq 3$ və $x \neq -3$ .
3Ortaq məxrəcə vur: Hər iki tərəfi $(x-3)(x+3)$ -ə vur: $4 = (x+3)$ .
4Həll et: $x + 3 = 4$ , buradan $x = 1$ .
5Yoxlama: $x = 1$ ODZ-yə uyğundur ( $1 \neq \pm 3$ ). Cavab: $x = 1$ .

🚫Tez-tez səhv

Ən vacib addımı buraxma: tapılan kökü ODZ-yə yoxla. $\frac{x}{x-2} = \frac{2}{x-2}+3$ tənliyində $x=2$ alınır, lakin bu ODZ-dən xaricdir — kənar kökdür, həll yoxdur.

⚠️Diqqət

ODZ surətə görə deyil, məxrəcə görə müəyyənləşir. $\frac{7}{x+4}=1$ üçün ODZ $x \neq -4$ -dür; surətdəki $7$ -nin ODZ-yə təsiri yoxdur.

⚠️Diqqət

$x+4=0$ tənliyindən $x = -4$ alınır, $+4$ yox. ODZ üçün məxrəci sıfır edən dəyəri tap, işarəni dəyişməyi unutma.

💡Qeyd

Kəsr sıfıra bərabərdirsə ( $\frac{x}{x-5}=0$ ), yalnız surət sıfır olmalıdır; ona görə $x=0$ , amma yoxla ki bu məxrəci sıfır etməsin.

💡Qeyd

Bütün tapılan köklər kənar çıxarsa, həll çoxluğu boşdur ( $\varnothing$ ) — bu da düzgün cavabdır, «səhv etdim» demək deyil.

Qaydalar

1ODZ yazın: hər məxrəci sıfıra bərabər edən $x$ dəyərləri ODZ-dən çıxarılır.
2Bütün kəsrlərin ortaq məxrəcini tapın və tənliyin hər iki tərəfini ona vurun.
3Alınan tam tənliyi standart üsulla (xətti, kvadrat) həll edin.
4Tapılan hər kökü ODZ-yə yoxlayın; ODZ-yə uymayan köklər kənar köklərdir — cavabdan çıxarın.
5Əgər bütün tapılan köklər kənar çıxarsa, tənliyin həll çoxluğu boşdur ( $\varnothing$ ).

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq