m8-1.1· Fəsil 1: Rasional ifadələr· ~13 dəq

Rasional ifadələrin sadələşdirilməsi

Cəbri kəsrlərin ixtisarı, toplanması, vurulması və bölünməsi.

Cəbri kəsr, pay və məxrəci cəbri ifadə olan kəsrdir. Cəbri kəsri sadələşdirmək üçün əvvəlcə pay ilə məxrəci vuruqlara ayırırıq, sonra ümumi vuruqları ixtisar edirik. İxtisar yalnız pay ilə məxrəcin hər ikisinin eyni amilinə bölündüyü halda mümkündür — cəmi yox, vurma əməlini.

Kəsrləri toplamaq üçün onlara ortaq məxrəc tapıb payları uyğunlaşdırırıq; fərqli məxrəcli kəsrləri birbaşa toplamaq olmaz. Vurma zamanı pay payı, məxrəc məxrəci ilə vurulur; bölmə isə böləni çevirərək vurmaya çevrilir. ODZ (ölçü dəyişəninin dəyərlər çoxluğu) baxımından məxrəcin sıfıra bərabər olmadığı $x$ dəyərlərini qeyd etmək vacibdir, çünki məxrəc sıfır olduqda ifadə mənasız olur.

📌Nümunə

Məsələn: $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x + 2$ ( $x \neq 2$ ) — iki həddli kvadrat fərqini vuruqlara ayırıb ixtisar etdik.

Əsas terminlər

Cəbri kəsr — Pay və məxrəci cəbri ifadə olan kəsr, məsələn

\frac{x^2-4}{x-2}

İxtisar — Pay ilə məxrəcin ortaq vuruğunu götürmək; yalnız vurma əməlindəki ortaq vuruqlara tətbiq olunur.

Ortaq məxrəc — Fərqli məxrəcli kəsrləri toplamaq/çıxmaq üçün tapılan ümumi məxrəc; payları uyğun əmsalla vururuq.

ODZ — Dəyişənin dəyərlər çoxluğu; məxrəcin sıfıra bərabər olmadığı

x

dəyərləri ifadənin tanım oblastını verir.

Kvadrat fərq —

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

düsturu; ixtisar üçün payı vuruqlara ayırmaqda istifadə olunur.

Kəsrlərin bölünməsi — Böləni çevirib (tərs götürüb) vurmaya çevirmək:

\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}

Cəbri kəsrlərlə əməllər

Əməl	Qayda	Nümunə
İxtisar	Pay və məxrəci vuruqlara ayır, ortaq vuruğu götür	$\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=x+2$
Toplama/çıxma	Ortaq məxrəc tap, payları birləşdir	$\frac{3}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x+1}$
Vurma	Payı payla, məxrəci məxrəclə vur	$\frac{2}{x}\cdot\frac{x^2}{4}=\frac{x}{2}$
Bölmə	Böləni çevir, sonra vur	$\frac{x}{3}\div\frac{x^2}{9}=\frac{3}{x}$

Hər əməldə nəticəni ən sadə kəsr şəklinə gətir.

Tez-tez işlənən vuruqlara ayırmalar

İfadə	Vuruqlara ayrılışı
$x^2-9$	$(x+3)(x-3)$
$x^2-4$	$(x+2)(x-2)$
$x^2+5x+6$	$(x+2)(x+3)$
$x^2-5x+6$	$(x-2)(x-3)$
$x^2-4x$	$x(x-4)$

İxtisardan əvvəl həm payı, həm məxrəci bu cür vuruqlara ayır.

✎Kvadrat fərqin ixtisarı:

\frac{x^2-2x}{x^2-4}

1Payı vuruqlara ayır: $x^2-2x=x(x-2)$ .
2Məxrəci vuruqlara ayır: $x^2-4=(x+2)(x-2)$ (kvadrat fərq).
3Kəsri yenidən yaz: $\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)}$ .
4Ortaq vuruğu ixtisar et: $x-2$ pay və məxrəcdə var, onu götürürük.
5Nəticə: $\frac{x}{x+2}$ ( $x \neq \pm 2$ ).

✎Ortaq məxrəclə toplama:

\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}

1Ortaq məxrəc tap: Ortaq məxrəc $(x-2)(x+2)=x^2-4$ -dür.
2Payları uyğunlaşdır: $\frac{(x+2)}{x^2-4}+\frac{(x-2)}{x^2-4}$ .
3Payları topla: $(x+2)+(x-2)=2x$ .
4Nəticə: $\frac{2x}{x^2-4}$ ( $x \neq \pm 2$ ).

🚫Tez-tez səhv

$\frac{x^2-9}{x-3}$ ixtisar edildikdə $x-3$ deyil, $x+3$ qalır: pay $(x+3)(x-3)$ -dür, məxrəcdəki $x-3$ götürülür.

⚠️Diqqət

İxtisar YALNIZ vurma əməlindəki ortaq vuruqlara tətbiq olunur; cəmi olduğu kimi ixtisar etmək olmaz.

💡Qeyd

$\frac{x-5}{5-x}=-1$ , çünki $5-x=-(x-5)$ . İşarə dəyişikliyini unutma.

🚫Tez-tez səhv

Eyni məxrəcli kəsrləri toplayanda məxrəc vurulmur və kvadrata qalxmır: $\frac{3}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x+1}$ , $\frac{2}{(x+1)^2}$ deyil.

⚠️Diqqət

ODZ-ni qeyd et: məxrəci sıfır edən $x$ dəyərlərində ifadə mənasızdır (məs. $x \neq 2$ , $x \neq -3$ ).

Qaydalar

1Cəbri kəsri ixtisar etmək üçün pay və məxrəci ayrıca vuruqlara ayır, sonra ortaq vuruğu ixtisara ver.
2İxtisar yalnız vurma əməlindəki ortaq vuruqlara tətbiq edilir; toplama ilə bağlı ixtisar mümkün deyil.
3Kəsrləri toplamaq/çıxmaq üçün ortaq məxrəc tap, hər payı uyğun əmsalla vur, sonra payları birləşdir.
4Kəsrləri vurmaqda payları paylarla, məxrəcləri məxrəclərlə vur; bölmədə isə böləni çevirib vur.
5ODZ: məxrəcin sıfıra bərabər olmadığı $x$ dəyərləri ifadənin tanım oblastını müəyyən edir.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq