m6-8.5· Bölmə 8: Həndəsi fiqurların sahəsi və həcmi· ~13 dəq

Düz üçbucaqlı prizmanın və silindrin həcmi

Oturacağın sahəsini hündürlüyə vuraraq düz üçbucaqlı prizmanın və silindrin həcmini tapmaq.

«Düz prizmanın həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüyünün hasilinə bərabərdir» — bu qayda hər bir düz prizmaya, o cümlədən düz üçbucaqlı prizmaya aiddir və V=Sot⋅hV=S_{ot}\cdot h kimi yazılır. Üçbucaqlı prizmada əvvəlcə oturacaqdakı üçbucağın sahəsi (8.1-dəki kimi, tərəf ilə bu tərəfə çəkilən öz hündürlüyünün hasilinin yarısı) tapılır, sonra bu ədəd prizmanın öz hündürlüyünə vurulur. «Silindrin həcmi onun oturacağının sahəsi ilə hündürlüyünün hasilinə bərabərdir» — silindrin oturacağı dairə olduğundan, Sot=πr2S_{ot}=\pi r^2 yazılır və düstur açıq şəkildə V=πr2⋅hV=\pi r^2\cdot h kimi çıxır, burada rr oturacaq dairəsinin radiusu, hh isə silindrin hündürlüyüdür. Bu bölmədə π\pi həmişə təxminən 33 götürülür. Nəzərə almaq lazımdır ki, eyni ölçülü bir kağız vərəqini fərqli tərəflərindən bükməklə alınan iki silindrin səthi (kağızın özü) eyni qalsa da, radiusları və hündürlükləri fərqli olduğundan həcmləri fərqli olur.

📌Nümunə

Məsələn, düz üçbucaqlı prizmanın oturacağındakı üçbucağın tərəfi 1212 sm, öz hündürlüyü 99 sm olarsa, Sot=12⋅12⋅9=54S_{ot}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 9=54 (sm²) olur; prizmanın hündürlüyü 2020 sm olduqda isə V=54⋅20=1080V=54\cdot 20=1080 (sm³) alınır.

Qrafiklər

Həcm: solda şaquli dayanmış düz üçbucaqlı prizma, kölgəli üçbucaqlı oturacaq və şaquli h hündürlüyü ilə (V=S_ot·h); ortada şaquli dayanmış silindr, dairəvi oturacağın radiusu r və hündürlüyü h ilə (V=πr²·h); sağda eyni ölçülü kağız vərəqinin iki fərqli tərəfdən bükülməsi ilə alınan enli-qısa və dar-uzun silindrlər — səthləri eyni olsa da həcmləri fərqlidir.
Həcm: solda şaquli dayanmış düz üçbucaqlı prizma, kölgəli üçbucaqlı oturacaq və şaquli h hündürlüyü ilə (V=S_ot·h); ortada şaquli dayanmış silindr, dairəvi oturacağın radiusu r və hündürlüyü h ilə (V=πr²·h); sağda eyni ölçülü kağız vərəqinin iki fərqli tərəfdən bükülməsi ilə alınan enli-qısa və dar-uzun silindrlər — səthləri eyni olsa da həcmləri fərqlidir.

Əsas terminlər

həcm — Bir cismin fəzada tutduğu yerin ölçüsü; sm³, m³ kimi vahidlərlə ölçülür.
oturacağın sahəsi (SotS_{ot}) — Prizmanın və ya silindrin oturacağını təşkil edən fiqurun (üçbucaq və ya dairə) sahəsi; həcmi tapmaq üçün fiqurun hündürlüyünə vurulur.
hündürlük (hh) — Prizmanın və ya silindrin iki oturacağı arasındakı perpendikulyar məsafə.
düz üçbucaqlı prizma — Yan tilləri oturacağına perpendikulyar olan, oturacağı üçbucaq olan prizma; 'düz' sözü prizmanın özünə aiddir, oturacaqdakı üçbucağın düzbucaqlı olmasına yox.
silindr — Oturacağı dairə olan fəza fiquru; oturacağının sahəsi Sot=πr2S_{ot}=\pi r^2 olduğundan, həcmi V=πr2⋅hV=\pi r^2\cdot h düsturu ilə tapılır.
π\pi (pi ədədi) — Dairənin çevrəsinin uzunluğunun onun diametrinə olan nisbətini göstərən sabit ədəd; bu bölmədə təxminən 33 götürülür.
Həcm düsturunun iki forması
FiqurOturacağın sahəsi necə tapılırHəcm düsturuƏdədi nümunə
Düz üçbucaqlı prizmaÜçbucağın tərəfi ilə bu tərəfə çəkilən öz hündürlüyünün hasilinin yarısı (8.1-dəki kimi)V=Sot⋅hV=S_{ot}\cdot htərəf 1212, öz hündürlük 99, prizmanın hündürlüyü h=20h=20 → Sot=54S_{ot}=54, V=1080V=1080 (sm³)
SilindrSot=πr2S_{ot}=\pi r^2 (oturacaq dairədir)V=Sot⋅h=πr2⋅hV=S_{ot}\cdot h=\pi r^2\cdot hr=5r=5, h=12h=12, π≈3\pi\approx 3 → Sot=75S_{ot}=75, V=900V=900 (sm³)

Hər iki fiqurda əvvəlcə oturacağın sahəsi tapılır, sonra bu sahə fiqurun öz hündürlüyünə vurulur — üçbucağın öz hündürlüyü ilə prizmanın hündürlüyünü qarışdırma.

Eyni kağız, fərqli silindr
Bükülmə tərziÇevrə (dairənin uzunluğu)r=c¸evrə6r=\dfrac{\text{çevrə}}{6} (π≈3\pi\approx 3)hhV≈3r2hV\approx 3r^2h (sm³)
Uzun (1818 sm) tərəf çevrə olanda18 sm3 sm12 sm324
Qısa (1212 sm) tərəf çevrə olanda12 sm2 sm18 sm216

Eyni ölçülü (1818 sm × 1212 sm) kağız vərəqi iki fərqli tərəfindən bükülsə də, silindrlərin radiusu və hündürlüyü dəyişdiyi üçün həcmləri fərqli olur — kağızın özü (səthi) eyni qalsa belə.

✎Məsələ: Düz üçbucaqlı prizmanın həcmini tapın
  1. 1Addım 1 — Oturacağın sahəsini tap: Üçbucağın tərəfi 1212 sm, bu tərəfə çəkilmiş öz hündürlüyü 99 sm-dir: Sot=12⋅12⋅9=54S_{ot}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 9=54 (sm²).
  2. 2Addım 2 — Tapılan sahəni prizmanın hündürlüyünə vur: Prizmanın hündürlüyü 2020 sm-dir: V=Sot⋅h=54⋅20=1080V=S_{ot}\cdot h=54\cdot 20=1080 (sm³).
  3. 3Nəticə: Prizmanın həcmi 10801080 sm³-dir.
✎Məsələ: Silindr formalı qabın həcmini tapın
  1. 1Addım 1 — Oturacağın (dairənin) sahəsini tap: Qabın oturacağının radiusu 55 sm-dir, π≈3\pi\approx 3 götürülür: Sot≈πr2=3⋅52=75S_{ot}\approx\pi r^2=3\cdot 5^2=75 (sm²).
  2. 2Addım 2 — Tapılan sahəni hündürlüyə vur: Qabın hündürlüyü 1212 sm-dir: V≈Sot⋅h=75⋅12=900V\approx S_{ot}\cdot h=75\cdot 12=900 (sm³).
  3. 3Nəticə: Qabın həcmi təqribən 900900 sm³-dir.
✎Məsələ: Silindrik oyuqla prizmanın qalan həcmini tapın
  1. 1Addım 1 — Prizmanın (oyuqsuz) həcmini tap: Oturacağın sahəsi Sot=54S_{ot}=54 sm², hündürlüyü 2020 sm olan prizmanın həcmi: Vprizma=54⋅20=1080V_{prizma}=54\cdot 20=1080 (sm³).
  2. 2Addım 2 — Oyuğun (silindrin) həcmini tap: Prizmanın tam ortasından, bir üzündən digərinə qədər radiusu 33 sm olan silindrik oyuq açılıb (oyuğun hündürlüyü prizmanın hündürlüyünə bərabərdir, 2020 sm): Voyuq≈πr2⋅h=3⋅32⋅20=540V_{oyuq}\approx\pi r^2\cdot h=3\cdot 3^2\cdot 20=540 (sm³).
  3. 3Addım 3 — Prizmanın həcmindən oyuğun həcmini çıx: V=1080−540=540V=1080-540=540 (sm³).
  4. 4Nəticə: Qalan cismin həcmi 540540 sm³-dir.
🚫Eyni material, fərqli həcm

Səhv: eyni ölçülü kağız vərəqini bükməklə düzəldilən silindrlərin səthi (kağızın özü) eyni olduğu üçün həcmlərinin də eyni olacağını düşünmək. Məsələn, 1818 sm × 1212 sm ölçülü vərəqi uzun (1818 sm) tərəfindən bükəndə r=3r=3 sm, h=12h=12 sm və V≈3⋅9⋅12=324V\approx 3\cdot 9\cdot 12=324 (sm³) alınır; qısa (1212 sm) tərəfindən bükəndə isə r=2r=2 sm, h=18h=18 sm və V≈3⋅4⋅18=216V\approx 3\cdot 4\cdot 18=216 (sm³) alınır — həcmlər FƏRQLİDİR, baxmayaraq ki, kağızın özü eynidir.

🚫Həcm düsturu tam səthi vermir

Səhv: V=πr2⋅hV=\pi r^2\cdot h düsturunu görüb, silindrin TAM SƏTHİNİN sahəsini də bu cür bir addımlı düsturla tapmağa çalışmaq. Bu düstur YALNIZ HƏCM üçündür — tam səthin sahəsi 8.4-də olduğu kimi açılışdakı hissələrin (iki dairə və bir düzbucaqlı) sahələrini toplamaqla tapılır, qapalı bir düsturla YOX.

🚫Radiusu kvadrata yüksəltməyi unutma

Səhv: πr2\pi r^2 ifadəsində radiusu kvadrata yüksəltməyi unudub, əvəzinə π⋅r⋅h\pi\cdot r\cdot h hesablamaq. Məsələn, r=5r=5 sm, h=12h=12 sm, π≈3\pi\approx 3 üçün düzgün həcm V=3⋅52⋅12=900V=3\cdot 5^2\cdot 12=900 (sm³)-dür; rr-i kvadrata yüksəltmədən 3⋅5⋅12=1803\cdot 5\cdot 12=180 hesablamaq YANLIŞDIR.

⚠️'Düz' sözü prizmaya aiddir

Diqqət: 'düz üçbucaqlı prizma' ifadəsindəki 'düz' sözü PRİZMAYA aiddir (yan tillərin oturacağa perpendikulyar olması), oturacaqdakı üçbucağın düzbucaqlı olması demək DEYİL.

⚠️İki fərqli hündürlüyü qarışdırma

Diqqət: üçbucaqlı oturacağın öz hündürlüyü ilə prizmanın hündürlüyü FƏRQLİ ölçülərdir — məsələdə hər ikisi verildikdə hansının hansı olduğunu qarışdırma; yalnız prizmanın öz hündürlüyü V=Sot⋅hV=S_{ot}\cdot h düsturundakı hh-dır.

Qaydalar

  1. 1Hər düz prizmanın həcmi oturacağının sahəsi ilə hündürlüyünün hasilinə bərabərdir: V=Sot⋅hV=S_{ot}\cdot h.
  2. 2Üçbucaqlı prizmada əvvəlcə oturacaqdakı üçbucağın sahəsini (tərəf ilə bu tərəfə çəkilən öz hündürlüyünün hasilinin yarısını, 8.1-dəki kimi) tap, sonra bu sahəni prizmanın öz hündürlüyünə vur.
  3. 3Silindrin oturacağı dairə olduğundan, onun həcmi V=Sot⋅h=πr2⋅hV=S_{ot}\cdot h=\pi r^2\cdot h düsturu ilə tapılır.
  4. 4Bu bölmədə π\pi həmişə təxminən 33 götürülür (π≈3\pi\approx 3), 3,143{,}14 YOX.
  5. 5Həcmdən naməlum ölçünü tapmaq üçün düsturu tərsinə həll et: h=VSoth=\dfrac{V}{S_{ot}} və ya Sot=VhS_{ot}=\dfrac{V}{h}.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq