m6-8.4· Bölmə 8: Həndəsi fiqurların sahəsi və həcmi· ~14 dəq

Düz üçbucaqlı prizmanın və silindrin səthinin sahəsi

Prizmanın və silindrin tam səthinin sahəsini açılış (net) şəklindəki hissələrin sahələrini toplayaraq tapmaq.

Düz prizmanın (yan tilləri oturacağa perpendikulyar olan prizmanın) tam səthinin sahəsi onun oturacaqlarının və yan üzlərinin sahələri cəminə bərabərdir: Stam=2⋅Sot+SyanS_{tam}=2\cdot S_{ot}+S_{yan}. Düz prizmanın yan üzləri düzbucaqlı olduğu üçün SyanS_{yan} yan üzlərin təşkil olunduğu düzbucaqlıların sahələri cəmidir. Düz ÜÇBUCAQLI prizma üçün bu, oturacaqdakı üçbucağın sahəsini (8.1-dəki S=12ahS=\frac12ah qaydası ilə) və üç yan düzbucaqlının sahələrini tapıb toplamaq deməkdir — prizmanı açılış (net) şəklinə gətirib bütün hissələrin sahələrini sadəcə toplayırıq, hazır qapalı düstur yoxdur. Silindrin tam səthi eyni məntiqlə tapılır: silindrin oturacaqları bir-birinə paralel olan konqruyent dairələrdir, tam səthin sahəsi oturacaqların və yan səthin sahələri cəminə bərabərdir; silindri açılışa gətirdikdə oturacaqlar iki dairə, yan səth isə bir düzbucaqlı olur, və bu düzbucaqlının sahəsini (dairənin sahə düsturu ilə, 8.3-dən) əvvəlcədən tapıb oturacaqların sahələri ilə toplayırıq.

📌Nümunə

Məsələn, oturacağının tərəfi 4 sm, hündürlüyü 6 sm olan üçbucaqlı prizmanın açılışında yan üzlərin sahələri 50, 60, 50 (sm²) verilibsə: Sot=12⋅4⋅6=12S_{ot}=\frac12\cdot4\cdot6=12, Syan=50+60+50=160S_{yan}=50+60+50=160, Stam=2⋅12+160=184S_{tam}=2\cdot12+160=184 (sm²).

Qrafiklər

İki açılış (net): solda düz üçbucaqlı prizmanın açılışı — iki konqruyent üçbucaq (oturacaqlar, hər birinin sahəsi 12) və aralarında üç düzbucaqlı (yan üzlər, sahələri 50, 60, 50), cəmi S_tam=184 sm²; sağda silindrin açılışı — iki konqruyent dairə (oturacaqlar, hər birinin sahəsi 27) və aralarında bir düzbucaqlı (yan səth, sahəsi 90), cəmi S_tam=144 sm². Tam səth hər iki fiqurda açılışdakı hissələrin sahələrini toplamaqla tapılır, qapalı simvolik düsturla yox.
İki açılış (net): solda düz üçbucaqlı prizmanın açılışı — iki konqruyent üçbucaq (oturacaqlar, hər birinin sahəsi 12) və aralarında üç düzbucaqlı (yan üzlər, sahələri 50, 60, 50), cəmi S_tam=184 sm²; sağda silindrin açılışı — iki konqruyent dairə (oturacaqlar, hər birinin sahəsi 27) və aralarında bir düzbucaqlı (yan səth, sahəsi 90), cəmi S_tam=144 sm². Tam səth hər iki fiqurda açılışdakı hissələrin sahələrini toplamaqla tapılır, qapalı simvolik düsturla yox.

Əsas terminlər

düz prizma — Yan tilləri oturacağa perpendikulyar olan prizma. «Düz üçbucaqlı prizma» ifadəsində "düz" prizmanın özünü təyin edir, oturacaqdakı üçbucağın düzbucaqlı olduğunu bildirmir — bu dərsdə oturacaqdakı üçbucağın hər hansı bir bucağının düz olması şərt qoyulmur.
oturacaq — Prizmanın yuxarı və aşağı konqruyent üzləri (üçbucaqlı prizmada — iki konqruyent üçbucaq); silindrdə isə bir-birinə paralel olan iki konqruyent dairə.
yan üz / yan səth — Prizmanın oturacaqları birləşdirən düzbucaqlı üzləri (yan üzlər) və onların cəm sahəsi SyanS_{yan}; silindrdə isə oturacaqları birləşdirən əyri səth (yan səth), açılışda bir düzbucaqlıya çevrilir.
tam səth — «Düz prizmanın tam səthinin sahəsi onun oturacaqlarının və yan üzlərinin sahələri cəminə bərabərdir.» Silindr üçün də eyni qayda: oturacaqların və yan səthin sahələri cəmi.
açılış (net) — Prizmanı və ya silindri kəsib müstəviyə sərdikdə alınan şəkil — oturacaqlar və yan üzlər/yan səth ayrı-ayrı müstəvi fiqurlar kimi görünür; tam səthin sahəsi bu hissələrin sahələrini toplamaqla tapılır.
konqruyent dairələr — «Silindrin oturacaqları bir-birinə paralel olan konqruyent dairələrdir.» Yəni silindrin iki oturacağı ölçücə (radiusca) eyni dairələrdir.
Tam səthin sahəsi: prizma və silindr
FiqurOturacaq (açılışda)Yan hissə (açılışda)Qayda
Düz üçbucaqlı prizmaİki konqruyent üçbucaqÜç düzbucaqlı (yan üzlər)Stam=2⋅Sot+SyanS_{tam}=2\cdot S_{ot}+S_{yan}
Silindrİki konqruyent dairəBir düzbucaqlı (yan səth)Stam=Soturacaqlar+SyanS_{tam}=S_{oturacaqlar}+S_{yan}

Hər iki fiqurda tam səthin sahəsi açılışdakı oturacaq(lar)ın və yan hissə(lər)in sahələrini toplamaqla tapılır.

Nümunə: üçbucaqlı prizmanın açılışındakı sahələr
HissəSahəsi (sm²)
Oturacaq (üçbucaq), Sot=12⋅4⋅6S_{ot}=\frac12\cdot4\cdot612
1-ci yan üz (düzbucaqlı)50
2-ci yan üz (düzbucaqlı)60
3-cü yan üz (düzbucaqlı)50
Tam səth, Stam=2⋅12+160S_{tam}=2\cdot12+160184

İki oturacağın (hər biri 12) və üç yan üzün (50, 60, 50) sahələri toplanaraq tam səthin sahəsi (184 sm²) tapılır.

✎Məsələ: düz üçbucaqlı prizmanın açılışına əsasən tam səthin sahəsini tapın
  1. 1Addım 1 — Yan səthin sahəsini tap: Açılışdakı üç yan üz (düzbucaqlı) sahələri 50, 60 və 50 sm²-dir: Syan=50+60+50=160S_{yan}=50+60+50=160 (sm²).
  2. 2Addım 2 — Oturacağın sahəsini tap: Oturacaqdakı üçbucağın tərəfi 4 sm, bu tərəfə çəkilən hündürlük 6 sm-dir: Sot=12⋅4⋅6=12S_{ot}=\frac12\cdot4\cdot6=12 (sm²).
  3. 3Addım 3 — Tam səthin sahəsini tap: İki oturacaq və yan üzlərin sahələrini topla: Stam=2⋅Sot+Syan=2⋅12+160=184S_{tam}=2\cdot S_{ot}+S_{yan}=2\cdot12+160=184 (sm²).
  4. 4Nəticə: Prizmanın tam səthinin sahəsi 184184 sm²-dir.
✎Məsələ: silindrin açılışına əsasən tam səthin sahəsini tapın (π ≈ 3)
  1. 1Addım 1 — Açılışdakı hissələrin sahələrini oxu: Silindrin açılışında hər bir oturacaq (dairə) 27 sm², yan səth (düzbucaqlı) isə 90 sm²-dir.
  2. 2Addım 2 — Oturacaqların (iki dairənin) sahələri cəmini tap: 27+27=5427+27=54 (sm²).
  3. 3Addım 3 — Tam səthin sahəsini tap: Oturacaqların cəmi ilə yan səthi topla: Stam=27+90+27=144S_{tam}=27+90+27=144 (sm²).
  4. 4Nəticə: Silindrin oturacaqlarının, yan səthinin sahəsi tapılır və toplanır: tam səth 144144 sm²-dir.
✎Məsələ: oturacağının tərəfi 5 sm, bu tərəfə çəkilən hündürlüyü 8 sm olan üçbucaqlı prizmanın yan üzlərinin sahələri açılışda 40, 45, 40 sm²-dirsə, tam səthin sahəsini tapın
  1. 1Addım 1 — Oturacağın sahəsini tap: Sot=12⋅5⋅8=20S_{ot}=\frac12\cdot5\cdot8=20 (sm²).
  2. 2Addım 2 — Yan səthin sahəsini tap: Syan=40+45+40=125S_{yan}=40+45+40=125 (sm²).
  3. 3Addım 3 — Tam səthin sahəsini tap: Stam=2⋅Sot+Syan=2⋅20+125=165S_{tam}=2\cdot S_{ot}+S_{yan}=2\cdot20+125=165 (sm²).
  4. 4Nəticə: Prizmanın tam səthinin sahəsi 165165 sm²-dir.
🚫Tez-tez səhv

Səhv: bölmənin adındakı "düz üçbucaqlı prizma" ifadəsindəki "düz" sözünü oturacaqdakı ÜÇBUCAĞA aid etmək, yəni onun düzbucaqlı üçbucaq olduğunu düşünmək. Əslində "düz" PRİZMANI təyin edir (yan tilləri oturacağa perpendikulyar) — oturacaqdakı üçbucaq İSTƏNİLƏN üçbucaq ola bilər, onun düzbucaqlı olması bu dərsdə heç yerdə şərt qoyulmur.

🚫Tez-tez səhv

Səhv: tam səthin sahəsini tərtib olunmuş bir düsturla (məsələn silindr üçün 2πr2+2πrh2\pi r^2+2\pi rh kimi) birbaşa hesablamağa çalışmaq. Bu dərsdə belə qapalı düstur ÇAP OLUNMUR — tam səthin sahəsi HƏMİŞƏ açılışdakı hissələrin (oturacaqlar və yan üz(lər)) sahələrini AYRI-AYRI tapıb toplamaqla tapılır.

🚫Tez-tez səhv

Səhv: Stam=2⋅Sot+SyanS_{tam}=2\cdot S_{ot}+S_{yan} düsturunda oturacağı YALNIZ BİR dəfə hesaba almaq (yəni Sot+SyanS_{ot}+S_{yan} yazmaq). Prizmanın və silindrin İKİ oturacağı var (yuxarı və aşağı), ona görə SotS_{ot} MÜTLƏQ 2-yə vurulmalıdır.

⚠️Diqqət

Xəbərdarlıq: π-nin təqribi qiyməti hər sualda EYNİ deyil — bəzi suallarda π ≈ 3, bəzilərində isə π ≈ 3,14 işlədilir. Silindrin oturacağının (dairənin) sahəsini hesablamazdan əvvəl sualda hansı qiymətin tələb olunduğuna bax.

💡Qeyd

Qeyd: yan üzlərin/yan səthin sahələrini toplamazdan əvvəl prizmanı və ya silindri açılış (net) şəklində təsəvvür et — bu, hansı hissələrin (neçə üçbucaq/dairə, neçə düzbucaqlı) toplanacağını aydın göstərir.

Qaydalar

  1. 1Düz prizmanın tam səthinin sahəsi oturacaqlarının və yan üzlərinin sahələri cəminə bərabərdir: Stam=2⋅Sot+SyanS_{tam}=2\cdot S_{ot}+S_{yan}.
  2. 2Düz üçbucaqlı prizmanın yan üzləri düzbucaqlıdır — SyanS_{yan} bu düzbucaqlıların sahələri cəmidir, açılışdan birbaşa toplanır.
  3. 3Prizmanın oturacağının (üçbucağın) sahəsini 8.1-dəki S=12ahS=\frac12ah qaydası ilə əvvəlcədən tap, sonra yan üzlərin sahələri ilə cəmlə.
  4. 4Silindrin tam səthinin sahəsi oturacaqlarının (iki konqruyent dairənin) və yan səthinin sahələri cəminə bərabərdir.
  5. 5Hər iki fiqurda tam səthin sahəsi açılış (net) şəklindəki bütün hissələrin sahələrini toplamaqla tapılır — qapalı simvolik düsturla deyil.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10-dək sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq