m5-2.3· Fəsil 2: Adi kəsrlər· ~13 dəq

Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması və çıxılması

Ümumi məxrəcə gətirməklə toplama/çıxma.

Məxrəcləri müxtəlif olan adi kəsrləri toplamaq və ya çıxmaq üçün əvvəlcə onları ortaq (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır: hər iki məxrəcə bölünən ən kiçik ədəd tapılır və hər kəsrin surəti ilə məxrəci eyni əlavə vuruğa vurulur ki, kəsrin qiyməti dəyişməsin. Ortaq məxrəcə gətirdikdən sonra kəsrlər artıq bərabərməxrəcli olur və sadəcə surətləri toplanır (və ya çıxılır), məxrəc isə sabit qalır. Alınan cavab mütləq ixtisar olunmalı, mümkünsə düzgün olmayan kəsr tam ədədə çevrilməlidir. Çıxma əməlində həmişə böyük kəsrdən kiçik kəsr çıxılmalıdır ki, nəticə mənfi olmasın — buna görə əvvəlcə hansı kəsrin böyük olduğunu müəyyənləşdirmək vacibdir. Əgər məxrəclərdən biri digərinə bölünürsə, ortaq məxrəc böyük məxrəcdir və yalnız kiçik məxrəcli kəsr genişləndirilir; əks halda ən kiçik ortaq bölünəni tapmaq lazımdır. Əgər hər iki kəsrin məxrəci onsuz da eynidirsə, ortaq məxrəc axtarmağa ehtiyac yoxdur — sadəcə surətlər birbaşa toplanır və ya çıxılır, məxrəc isə olduğu kimi qalır.

📌Nümunə

Məsələn: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ ifadəsində ortaq məxrəc $6$ -dır, çünki həm $2$ -yə, həm də $3$ -ə bölünür; $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ və $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ yazaraq $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$ alırıq.

Əsas terminlər

ortaq məxrəc — Toplanan və ya çıxılan bütün kəsrlərin məxrəclərinə bölünən ədəd; kəsrləri bərabərməxrəcli etmək üçün istifadə olunur.

genişləndirmə — Kəsrin surətini və məxrəcini eyni ədədə vuraraq onu qiyməti dəyişmədən ortaq məxrəcli formaya salmaq.

bərabərməxrəcli kəsrlər — Məxrəcləri eyni olan kəsrlər; belə kəsrlər sadəcə surətləri toplanaraq və ya çıxılaraq birləşdirilir.

ixtisar etmə — Kəsrin surətini və məxrəcini onların ortaq böləninə bölərək kəsri ən sadə formaya salmaq.

düzgün olmayan kəsr — Surəti məxrəcindən böyük və ya ona bərabər olan kəsr; belə kəsr tam və ya qarışıq ədədə çevrilə bilər.

Ortaq məxrəc tapma nümunələri

Kəsrlər	Məxrəclər	Ortaq məxrəc	Üsul
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$	$2$ , $3$	$6$	Heç biri digərinə bölünmür — hər ikisinə bölünən ən kiçik ədəd tapılır
$\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$	$4$ , $8$	$8$	$8$ , $4$ -ə bölündüyü üçün böyük məxrəc ortaq məxrəcdir
$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$	$6$ , $4$	$12$	Nə $6$ , nə də $4$ digərinə bölünmür — ən kiçik ortaq bölünən tapılır

Əvvəlcə bir məxrəcin digərinə bölünüb-bölünmədiyini yoxlayın — bölünürsə, iş asanlaşır.

Tez-tez rast gəlinən hallar

Hal	Qayda	Nümunə
Bir məxrəc digərinə bölünür	Ortaq məxrəc — böyük məxrəcdir, yalnız kiçik məxrəcli kəsr genişləndirilir	$\frac{1}{4}+\frac{1}{8} \Rightarrow$ ortaq məxrəc $8$
Məxrəclər onsuz da eynidir	Ortaq məxrəc axtarmağa ehtiyac yoxdur, surətlər birbaşa toplanır/çıxılır	$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$
Məxrəclərin ortaq böləni yalnız $1$ -dir	Ortaq məxrəc iki məxrəcin hasilidir	$\frac{1}{3}+\frac{1}{5} \Rightarrow$ ortaq məxrəc $15$

Ortaq məxrəci seçməzdən əvvəl məxrəclər arasındakı əlaqəyə baxmaq işi qısaldır.

✎Məsələ:

\frac{2}{3}+\frac{1}{4}

ifadəsini hesablayın

1Addım 1 — Ortaq məxrəci tap: $3$ və $4$ -ə bölünən ən kiçik ədəd $12$ -dir (çünki nə $3$ $4$ -ə, nə də $4$ $3$ -ə bölünür).
2Addım 2 — Kəsrləri genişləndir: $\frac{2}{3}=\frac{2\times 4}{3\times 4}=\frac{8}{12}$ , $\frac{1}{4}=\frac{1\times 3}{4\times 3}=\frac{3}{12}$ .
3Addım 3 — Surətləri topla: $\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$ .
4Nəticə: $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}$ — $11$ sadə ədəddir və $12$ -yə bölünmür, ona görə kəsr artıq ixtisar olunmur.

✎Məsələ: Bir bağın

\frac{5}{6}

hissəsində tərəvəz,

\frac{1}{3}

hissəsində isə meyvə əkilib. Tərəvəz sahəsi meyvə sahəsindən neçə hissə çoxdur?

1Addım 1 — Əməli müəyyənləşdir: «Neçə hissə çoxdur» sualı çıxma əməlini tələb edir: $\frac{5}{6}-\frac{1}{3}$ .
2Addım 2 — Ortaq məxrəci tap: $3$ , $6$ -ya bölündüyü üçün ortaq məxrəc $6$ -dır; yalnız $\frac{1}{3}$ genişləndirilir: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ .
3Addım 3 — Surətləri çıx: $\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}$ .
4Addım 4 — İxtisar et: $\frac{3}{6}$ kəsrinin surət və məxrəcini $3$ -ə bölürük: $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ .
5Nəticə: Tərəvəz sahəsi meyvə sahəsindən $\frac{1}{2}$ hissə çoxdur.

✎Məsələ:

x+\frac{2}{5}=\frac{9}{10}

tənliyində

x

-i tapın

1Addım 1 — Naməlum toplananı ifadə et: Toplananı tapmaq üçün cəmdən məlum toplananı çıxmaq lazımdır: $x=\frac{9}{10}-\frac{2}{5}$ .
2Addım 2 — Ortaq məxrəcə gətir: $5$ , $10$ -a bölündüyü üçün ortaq məxrəc $10$ -dur: $\frac{2}{5}=\frac{4}{10}$ .
3Addım 3 — Çıxmanı yerinə yetir: $x=\frac{9}{10}-\frac{4}{10}=\frac{5}{10}$ .
4Addım 4 — İxtisar et: $\frac{5}{10}$ kəsrinin surət və məxrəcini $5$ -ə bölürük: $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ .
5Nəticə: $x=\frac{1}{2}$ . Yoxlama: $\frac{1}{2}+\frac{2}{5}=\frac{5}{10}+\frac{4}{10}=\frac{9}{10}$ $\checkmark$

🚫Tez-tez səhv

Ümumi səhv: surətləri və məxrəcləri ayrı-ayrılıqda toplamaq. Məsələn, $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ üçün $\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{5}$ yazmaq YANLIŞDIR. Düzgün yol: əvvəlcə ortaq məxrəcə gətirmək: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ , $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ , cəm $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$ -dır.

🚫Tez-tez səhv

Ümumi səhv: cavabı ixtisar etmədən buraxmaq. Məsələn, $\frac{5}{12}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}+\frac{3}{12}=\frac{8}{12}$ hesablandıqdan sonra cavabı $\frac{8}{12}$ kimi yazmaq YANLIŞDIR (natamamdır). Surət və məxrəci $4$ -ə bölərək $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ yazmaq lazımdır.

⚠️Diqqət

Diqqət: çıxmada hansı kəsrin böyük olduğunu orijinal surətlərə görə yox, ortaq məxrəcə gətirdikdən sonrakı surətlərə görə müəyyənləşdir. Məsələn, $\frac{2}{5}$ və $\frac{1}{2}$ arasında $2>1$ olduğuna görə $\frac{2}{5}$ -i böyük saymaq səhvdir — ortaq məxrəc $10$ -da $\frac{4}{10}$ və $\frac{5}{10}$ müqayisə edildikdə əslində $\frac{1}{2}$ daha böyükdür.

💡Qeyd

Qeyd: əgər məxrəclərdən biri digərinə bölünürsə, ən kiçik ortaq bölünəni axtarmağa ehtiyac yoxdur — ortaq məxrəc sadəcə böyük məxrəcdir. Məsələn, $\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$ üçün ortaq məxrəc $32$ deyil, birbaşa $8$ -dir, çünki $8$ , $4$ -ə bölünür.

Qaydalar

1Toplama və ya çıxmadan əvvəl kəsrləri hər iki məxrəcə bölünən ortaq məxrəcə gətir.
2Kəsri genişləndirərkən surəti və məxrəci eyni ədədə vur ki, kəsrin qiyməti dəyişməsin.
3Ortaq məxrəcə gətirdikdən sonra yalnız surətləri topla və ya çıx, məxrəc sabit qalır.
4Çıxmada əvvəlcə hansı kəsrin böyük olduğunu müəyyənləşdir və böyük kəsrdən kiçiyini çıx.
5Alınan cavabı mütləq ixtisar et, lazım gəldikdə düzgün olmayan kəsri tam ədədə çevir.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq