m5-1.8· Fəsil 1: Natural ədədlər və onlar üzərində əməllər· ~13 dəq

Ədədin bölən və bölünənləri

Bölən (divisor) və bölünən/qatı (multiple) anlayışları.

Bir ədədin böləni dedikdə, onu qalıqsız (tam) bölən natural ədədlər başa düşülür.

📌Nümunə

Məsələn, $12$ ədədini $1, 2, 3, 4, 6$ və $12$ -yə qalıqsız bölmək mümkündür, ona görə bu altı ədəd $12$ -nin bölənləridir; hər bölən ədədin özündən böyük ola bilməz, deməli bir ədədin bölənlərinin sayı həmişə məhduddur (sonludur). Bir ədədin bölünəni (başqa sözlə, qatı) isə onun natural ədədlərə vurulmasından alınan hasildir: $a$ ədədinin bölünənləri $a, 2a, 3a, 4a, \dots$ ardıcıllığı ilə davam edir və bu sıra sonsuzdur. Diqqət: bölən axtararkən ədədi NƏYƏ BÖLDÜYÜMÜZƏ, bölünən (qatı) axtararkən isə ədədi NƏYƏ VURDUĞUMUZA baxırıq. Hər ədəd özünün həm böləni, həm də bölünənidir, çünki onu özünə həm bölmək, həm də $1$ -ə vurmaq mümkündür; həmçinin $1$ ədədi hər natural ədədin böləni olur. Məsələn: $8$ ədədinin bölənləri $1, 2, 4, 8$ -dir ( $8 \div 1 = 8$ , $8 \div 2 = 4$ , $8 \div 4 = 2$ , $8 \div 8 = 1$ — hamısı qalıqsız), $8$ -in bölünənləri (qatları) isə $8, 16, 24, 32, \dots$ ardıcıllığıdır ( $8 \times 1 = 8$ , $8 \times 2 = 16$ , $8 \times 3 = 24$ ).

Əsas terminlər

bölən (divisor) — Verilmiş ədədi qalıqsız (tam) bölən natural ədəd; məsələn,

2

12

-nin böləndir, çünki

12 \div 2 = 6

bölünən (qat, multiple) — Verilmiş ədədin natural ədədlərə vurulmasından alınan hasil;

a

ədədinin bölünənləri

a, 2a, 3a, \dots

ardıcıllığıdır.

qalıqsız bölmə — Bölmə əməlinin qalıq buraxmadan tam nəticə verməsi; yalnız bu halda «bölən» sözü işlədilir.

ən böyük bölən — Hər ədədin ən böyük böləni onun özüdür, çünki ədəd özünə həmişə qalıqsız bölünür.

ən kiçik bölünən — Hər ədədin ən kiçik bölünəni (qatı) onun özüdür, çünki

a \times 1 = a

8

və

12

ədədlərinin bölən/bölünən müqayisəsi

Ədəd	Bölənləri	Bölənlərin sayı	Bölünənləri (ilk $4$ -ü)
$8$	$1, 2, 4, 8$	$4$	$8, 16, 24, 32$
$12$	$1, 2, 3, 4, 6, 12$	$6$	$12, 24, 36, 48$

Bölənlərin sayı həmişə sonludur, bölünənlər (qatlar) isə sonsuz sayda davam edir — cədvəldə yalnız ilk dördü göstərilib.

Bölən və bölünən (qat) arasındakı fərq

Xüsusiyyət	Bölən	Bölünən (qat)
Say	Sonludur (məhduddur)	Sonsuzdur
Ən kiçik	$1$	ədədin özü
Ən böyük	ədədin özü	yoxdur (sonsuza qədər davam edir)
Necə tapılır	ədədi nəyə bölmək mümkündür?	ədədi nəyə vurmaq lazımdır?

Bu cədvəl «bölən» və «bölünən» sözlərini qarışdırmamaq üçün əsas fərqləri xatırladır.

✎Məsələ:

18

ədədinin bütün bölənlərini tapın

1Addım 1 — Cütlərlə yoxla: $18 \div 1 = 18$ , $18 \div 2 = 9$ , $18 \div 3 = 6$ — hamısı qalıqsız bölünür; bu, $18$ -in böləni olan üç cütü verir: $(1,18)$ , $(2,9)$ , $(3,6)$ .
2Addım 2 — Aralıq ədədləri yoxla: $18 \div 4$ və $18 \div 5$ qalıqla bölünür, ona görə $4$ və $5$ bölən deyil; $18 \div 6 = 3$ isə Addım 1-də tapılan $(3,6)$ cütünü təsdiqləyir, deməli axtarışı bitirə bilərik.
3Nəticə: $18$ -in bölənləri: $1, 2, 3, 6, 9, 18$ — cəmi $6$ bölən.

✎Məsələ:

7

ədədinin ilk beş bölünənini (qatını) tapın

1Addım 1 — Düsturu tətbiq et: Bölünənlər $a \times 1, a \times 2, a \times 3, \dots$ düsturu ilə tapılır: $7 \times 1 = 7$ , $7 \times 2 = 14$ , $7 \times 3 = 21$ , $7 \times 4 = 28$ , $7 \times 5 = 35$ .
2Nəticə: $7$ -nin ilk beş bölünəni: $7, 14, 21, 28, 35$ .

✎Məsələ:

60

ədədinin bölənlərindən hansıları eyni zamanda

6

-nın bölünənidir (qatıdır)?

1Addım 1 — $60$ -ın bölənlərini yaz: $60$ -ın bölənləri: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ .
2Addım 2 — $6$ -nın bölünənlərini (qatlarını) $60$ -a qədər yaz: $6$ -nın bölünənləri: $6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60$ .
3Addım 3 — İki siyahını müqayisə et: Hər iki siyahıda birlikdə olan ədədlər: $6, 12, 30, 60$ .
4Nəticə: $60$ -ın bölənlərindən $6, 12, 30, 60$ ədədləri eyni zamanda $6$ -nın bölünənidir.

🚫Tez-tez səhv

Ümumi səhv: «bölən» ilə «bölünən (qat)» anlayışlarını qarışdırmaq. Bəzi şagirdlər $8$ -in bölənləri soruşulanda səhvən $8, 16, 24, \dots$ (bunlar $8$ -in bölünənləridir) yazır. Doğrusu: $8$ -in bölənləri $1, 2, 4, 8$ -dir — $8$ -i qalıqsız bölən ədədlər; $8, 16, 24, \dots$ isə $8$ -in bölünənləridir (qatlarıdır).

🚫Tez-tez səhv

Ümumi səhv: bölənləri sadalayarkən $1$ və ədədin özünü unutmaq. Məsələn, $12$ -nin bölənlərini $2, 3, 4, 6$ deyə yazıb $1$ və $12$ -ni buraxmaq səhvdir — düzgün siyahı $1, 2, 3, 4, 6, 12$ -dir, çünki $12 \div 1 = 12$ və $12 \div 12 = 1$ də qalıqsız bölünür.

⚠️Diqqət

Diqqət: bölənlərin sayı həmişə sonludur (ədədin özündən böyük ola bilməz), bölünənlərin (qatların) sayı isə sonsuzdur. Ona görə «bir ədədin bütün bölünənlərini yaz» tapşırığı mənasızdır — yalnız «ilk neçə bölünən» və ya müəyyən intervaldakı bölünənlər soruşula bilər.

💡Qeyd

Qeyd: bölənləri tez tapmaq üçün cüt-cüt yoxlamaq faydalıdır — $a \times b = n$ olduqda, həm $a$ , həm də $b$ ədədi $n$ -in böləni olur. Məsələn, $18$ üçün $2 \times 9 = 18$ olduğundan, $2$ -ni bölən kimi tapan kimi $9$ -u da avtomatik bölən siyahısına əlavə edə bilərsiniz.

Qaydalar

1 $a$ ədədi $b$ ədədini qalıqsız bölürsə, $b$ ədədi $a$ -nın böləni adlanır.
2Bir ədədin bölənləri sonludur (məhduddur); ən böyük bölən ədədin özüdür, ən kiçik bölən isə $1$ -dir.
3 $a$ ədədinin bölünənləri (qatları) — $a, 2a, 3a, 4a, \dots$ ardıcıllığıdır; bu sıra sonsuzdur və ən kiçik bölünən $a$ -nın özüdür.
4 $1$ ədədi hər natural ədədin böləni, hər ədəd isə özünün həm böləni, həm də bölünənidir (qatıdır).
5Bölən axtararkən ədədi nəyə bölmək mümkün olduğuna, bölünən (qatı) axtararkən isə ədədi nəyə vurduğumuza baxırıq.

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq