m5-1.5· Fəsil 1: Natural ədədlər və onlar üzərində əməllər· ~13 dəq

Natural ədədin kvadratı və kubu

İkinci və üçüncü dərəcə: $a^2$ və $a^3$ .

Natural ədədin özü-özünə vurulması nəticəsində əmələ gələn ədədə onun kvadratı deyilir və $a^2=a\cdot a$ kimi yazılır, «a-nın kvadratı» kimi oxunur. Əgər ədəd özü-özünə üç dəfə vurularsa, nəticə həmin ədədin kubu adlanır: $a^3=a\cdot a\cdot a$ , «a-nın kubu» kimi oxunur. Burada $a$ — əsas, $2$ və $3$ isə göstəricidir, yəni əsasın neçə dəfə özü-özünə vuruq kimi götürüldüyünü bildirən ədəddir. Kvadrat və kub anlayışları praktikada da faydalıdır: kvadrat şəklində fiqurun sahəsi tərəfin kvadratına, kub şəklində cismin həcmi isə tərəfin kubuna bərabərdir. Kiçik natural ədədlərin kvadrat və kublarını əzbər bilmək tərs məsələləri, məsələn hansı ədədin kvadratı və ya kubu verilmiş ədədə bərabərdir sualını, tez və doğru həll etməyə kömək edir. Diqqətli olmaq lazımdır: $a^2$ ifadəsini $2\cdot a$ ilə, $a^3$ ifadəsini isə $3\cdot a$ ilə qarışdırmaq olmaz — göstərici vuruğun neçə dəfə təkrarlandığını, əmsal isə neçə dəfə toplandığını bildirir, bunlar tamam fərqli əməllərdir.

📌Nümunə

Məsələn: $7^2=7\cdot 7=49$ olduğundan, $49$ ədədi tam kvadrat, $7$ isə onun kvadrat kökü adlanır.

Əsas terminlər

Kvadrat — Natural ədədin özü-özünə bir dəfə vurulması nəticəsində alınan ədəd;

a^2=a\cdot a

kimi yazılır.

Kub — Natural ədədin özü-özünə üç dəfə vurulması nəticəsində alınan ədəd;

a^3=a\cdot a\cdot a

kimi yazılır.

Əsas — Kvadrat və ya kub ifadəsində özü-özünə vurulan ədəd;

a^2

və

a^3

ifadələrində

a

hərfi əsası bildirir.

Göstərici — Əsasın neçə dəfə özü-özünə vurulduğunu bildirən kiçik ədəd; kvadratda

2

, kubda

3

olur.

Tam kvadrat — Hər hansı natural ədədin kvadratına bərabər olan ədəd; məsələn

49=7^2

olduğundan

49

tam kvadratdır.

Tam kub — Hər hansı natural ədədin kubuna bərabər olan ədəd; məsələn

27=3^3

olduğundan

27

tam kubdur.

Kiçik natural ədədlərin kvadratı və kubu

$a$	$a^2$	$a^3$
$1$	$1$	$1$
$2$	$4$	$8$
$3$	$9$	$27$
$4$	$16$	$64$
$5$	$25$	$125$
$6$	$36$	$216$
$7$	$49$	$343$
$8$	$64$	$512$
$9$	$81$	$729$
$10$	$100$	$1000$

Bu cədvəli əzbərləmək tərs məsələləri (məs. hansı ədədin kvadratı $81$ -dir?) tez həll etməyə kömək edir.

Qarışdırılan ifadələrin müqayisəsi (

a=5

üçün)

İfadə	Əməl	Nəticə
$a^2$	Özü-özünə vurma (2 dəfə)	$5^2=25$
$2\cdot a$	İkiqat toplama (əmsal ilə vurma)	$2\cdot 5=10$
$a^3$	Özü-özünə vurma (3 dəfə)	$5^3=125$
$3\cdot a$	Üç dəfə toplama (əmsal ilə vurma)	$3\cdot 5=15$

$a^2$ və $a^3$ vurmadır (göstərici), $2\cdot a$ və $3\cdot a$ isə toplamadır (əmsal) — bunları qarışdırmayın.

✎Məsələ:

9^2

və

9^3

ifadələrinin qiymətlərini tapın və müqayisə edin

1Addım 1 — $9^2$ hesabla: $9^2=9\cdot 9=81$ .
2Addım 2 — $9^3$ hesabla: $9^3=9\cdot 9\cdot 9=81\cdot 9=729$ .
3Addım 3 — Müqayisə et: $729>81$ , çünki kubda əsas bir dəfə çox (üçüncü) vurulur və nəticə xeyli böyüyür.
4Nəticə: $9^2=81$ , $9^3=729$ .

✎Məsələ: Tərəfi

9

sm olan və tərəfi

7

sm olan kub şəklində qutuların həcmləri arasındakı fərqi tapın

1Addım 1 — Birinci qutunun həcmini hesabla: Kubun həcmi tərəfin kubuna bərabərdir: $9^3=9\cdot 9\cdot 9=729$ sm³.
2Addım 2 — İkinci qutunun həcmini hesabla: $7^3=7\cdot 7\cdot 7=343$ sm³.
3Addım 3 — Fərqi tap: $729-343=386$ .
4Nəticə: İki qutunun həcmləri arasındakı fərq $386$ sm³-dür.

✎Məsələ: Sahəsi

81

m² olan kvadrat şəklində xalçanın tərəfinin uzunluğunu tapın

1Addım 1 — Şərti düzgün başa düş: Kvadratın sahəsi tərəfin kvadratına bərabərdir: sahə $=a^2=81$ .
2Addım 2 — Hansı ədədin kvadratı $81$ -dir, tap: $9\cdot 9=81$ , yəni $9^2=81$ .
3Addım 3 — Cavabı yaz: Deməli tərəfin uzunluğu $a=9$ m-dir.
4Nəticə: Xalçanın tərəfi $9$ metrdir.

🚫Tez-tez səhv

Ümumi səhv: $a^2$ ilə $2\cdot a$ ifadələrini qarışdırmaq. Məsələn $5^2=25$ -dir, amma $2\cdot 5=10$ -dur — bunlar tamam fərqli ədədlərdir. $a^2$ vurmadır (özü-özünə), $2\cdot a$ isə əmsal ilə vurmadır (toplama mənasında).

🚫Tez-tez səhv

Ümumi səhv: kubu hesablayarkən əsası yalnız iki dəfə vurmaq, yəni $a^3$ -ü $a^2$ kimi hesablamaq. Məsələn $4^3$ üçün düzgün hesab $4\cdot 4\cdot 4=64$ -dür, $4\cdot 4=16$ yox — kubda əsas üç dəfə (iki dəfə deyil) vurulur.

⚠️Diqqət

Diqqət: $7^2-4^2$ kimi ifadələrdə əvvəlcə hər bir qüvvəti ayrıca hesablayın ( $7^2=49$ , $4^2=16$ ), sonra toplama/çıxma əməlini aparın ( $49-16=33$ ). Əvvəlcə $7-4=3$ hesablayıb sonra kvadrat almaq ( $3^2=9$ ) yanlışdır.

💡Qeyd

Qeyd: $1$ -dən $10$ -a qədər ədədlərin kvadrat və kublarını əzbər bilmək tərs məsələləri (hansı ədədin kvadratı və ya kubu verilmiş ədədə bərabərdir) tez həll etməyə kömək edir.

Qaydalar

1 $a^2=a\cdot a$ — ədədin kvadratı, ədədin özü-özünə vurulması deməkdir.
2 $a^3=a\cdot a\cdot a$ — ədədin kubu, ədədin özü-özünə üç dəfə vurulması deməkdir.
3 $a^2$ ilə $2\cdot a$ eyni şey deyil: birincisi vurmadır, ikincisi ikiqat artırma (məs. $5^2=25$ , $2\cdot 5=10$ ).
4 $a^3$ ilə $3\cdot a$ eyni şey deyil: birincisi üç dəfə vurmadır, ikincisi üç dəfə toplama (məs. $4^3=64$ , $3\cdot 4=12$ ).
5Bir ədəd hər hansı natural ədədin kvadratı və ya kubudursa, ona tam kvadrat və ya tam kub deyilir (məs. $49=7^2$ , $27=3^3$ ).

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq