m6-1.1· Fəsil 1: Bölünmə· ~13 dəq

Bölünmə əlamətləri

2, 3, 5, 9 və 10-a bölünmə əlamətləri.

Bölünmə əlamətləri böyük ədədlərin hansı rəqəmlərə bölündüyünü faktiki bölmə aparmadan sürətlə müəyyənləşdirməyə imkan verir. 2-yə bölünmə üçün ədədin son rəqəmi cüt (0, 2, 4, 6, 8) olmalıdır. 5-ə bölünmə üçün son rəqəm 0 və ya 5 olmalıdır. 10-a bölünmə üçün isə son rəqəm mütləq 0 olmalıdır. 3-ə bölünmə üçün ədədin bütün rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünməlidir. 9-a bölünmə üçün rəqəmlər cəmi 9-a bölünməlidir. Bu əlamətlər bir-birini tamamlayır: məsələn, 10-a bölünən ədəd eyni zamanda həm 2-yə, həm də 5-ə bölünür; 9-a bölünən ədəd eyni zamanda 3-ə də bölünür. Əlamətləri birlikdə tətbiq edərək mürəkkəb məsələləri asan həll etmək olur.

📌Nümunə

Məsələn: 2 340 ədədi üçün son rəqəm 0-dır (2, 5, 10-a bölünür), rəqəmlər cəmi 2+3+4+0=9 (həm 3-ə, həm 9-a bölünür), beləliklə 2 340 eyni anda 2, 3, 5, 9 və 10-a bölünür.

Əsas terminlər

bölünmə əlaməti — Ədədin faktiki bölmə aparmadan müəyyən bir ədədə bölünüb-bölünmədiyini yoxlamağa imkan verən qayda.

son rəqəm — Ədədin ən sağdakı rəqəmi; 2-yə, 5-ə və 10-a bölünmə əlamətləri yalnız bu rəqəmə baxır.

rəqəmlər cəmi — Ədədin bütün rəqəmlərinin toplanması ilə alınan ədəd; 3-ə və 9-a bölünmə əlamətlərinin əsasıdır.

cüt ədəd — Son rəqəmi

0, 2, 4, 6

və ya

8

olan ədəd; bu ədədlər

2

-yə bölünür.

tək ədəd — Son rəqəmi

1, 3, 5, 7

və ya

9

olan ədəd;

2

-yə bölünmür.

bölünən — Bölmə əməlində bölünən ədəd; məsələn,

360 \div 9 = 40

ifadəsində

360

bölünəndir.

Bölünmə əlamətləri cədvəli

Bölən	Əlamət	Nümunə	Yoxlama
$2$	Son rəqəm $0, 2, 4, 6$ və ya $8$ olmalıdır	$728$	Son rəqəm $8$ — cütdür $\Rightarrow$ bölünür
$3$	Rəqəmlər cəmi $3$ -ə bölünməlidir	$255$	$2+5+5=12$ , $12 \div 3=4$ $\Rightarrow$ bölünür
$5$	Son rəqəm $0$ və ya $5$ olmalıdır	$920$	Son rəqəm $0$ $\Rightarrow$ bölünür
$9$	Rəqəmlər cəmi $9$ -a bölünməlidir	$4752$	$4+7+5+2=18$ , $18 \div 9=2$ $\Rightarrow$ bölünür
$10$	Son rəqəm mütləq $0$ olmalıdır	$850$	Son rəqəm $0$ $\Rightarrow$ bölünür

Bu beş əlaməti əzbərləyin: 2, 5, 10 üçün yalnız son rəqəmə baxın; 3 və 9 üçün bütün rəqəmləri toplayın.

Əlamətlər arasındakı əlaqələr

İddia	Doğru/Yanlış	Nümunə
$10$ -a bölünən hər ədəd $2$ -yə də bölünür	Doğru	$850$ : son rəqəm $0$ — cütdür
$10$ -a bölünən hər ədəd $5$ -ə də bölünür	Doğru	$850$ : son rəqəm $0$ — $0$ ya $5$ -dir
$5$ -ə bölünən hər ədəd $10$ -a da bölünür	Yanlış	$45$ : son rəqəm $5$ , lakin $10$ -a bölünmür
$9$ -a bölünən hər ədəd $3$ -ə də bölünür	Doğru	$81$ : rəqəmlər cəmi $9$ ; $9$ da $3$ -ün qatıdır
$3$ -ə bölünən hər ədəd $9$ -a da bölünür	Yanlış	$6$ : $3$ -ə bölünür, amma $6 \div 9$ bölünmür

«Böyük bölən → kiçik bölən» hər zaman keçərlidir, əksi isə keçərli deyil.

✎Məsələ: 2 340 ədədi hansı əlamətlərə bölünür?

1Addım 1 — Son rəqəmə bax: Son rəqəm $0$ -dır. $0$ cütdür $\Rightarrow$ $\mathbf{2}$ -yə bölünür. Son rəqəm $0$ olduğundan $\mathbf{5}$ -ə bölünür. Son rəqəm $0$ olduğundan $\mathbf{10}$ -a bölünür.
2Addım 2 — Rəqəmlər cəmini tap: $2 + 3 + 4 + 0 = 9$
3Addım 3 — Cəmi $3$ -ə yoxla: $9 \div 3 = 3$ — tam bölünür $\Rightarrow$ $\mathbf{3}$ -ə bölünür.
4Addım 4 — Cəmi $9$ -a yoxla: $9 \div 9 = 1$ — tam bölünür $\Rightarrow$ $\mathbf{9}$ -a bölünür.
5Nəticə: $2\,340$ eyni anda $2, 3, 5, 9$ və $10$ -a bölünür — bütün beş əlamət ödənir.

✎Məsələ:

3\square6

ədədi

9

-a bölünsün deyə

\square

yerinə ən kiçik rəqəmi tap

1Addım 1 — Şərti yaz: $9$ -a bölünmə üçün rəqəmlər cəmi $9$ -un qatı olmalıdır.
2Addım 2 — Məlum rəqəmləri topla: Məlum rəqəmlər: $3$ və $6$ ; onların cəmi $3 + 6 = 9$ .
3Addım 3 — Naməlum rəqəmi tap: $9 + \square$ ifadəsi $9$ -un qatı olmalıdır. $\square = 0$ olanda $9 + 0 = 9$ — $9$ -un qatıdır. $\square = 9$ olanda $9 + 9 = 18$ — bu da $9$ -un qatıdır, lakin $0 < 9$ .
4Nəticə: Ən kiçik rəqəm $\square = 0$ ; ədəd $306$ olur: $3+0+6=9$ , $9 \div 9 = 1$ $\checkmark$

🚫Tez-tez səhv

Ümumi səhv: 3-ə bölünmə üçün «son rəqəm $3$ olmalıdır» deyə düşünmək. Bu yanlışdır. Son rəqəm deyil, bütün rəqəmlərin cəmi $3$ -ə bölünməlidir. Məsələn, $12$ (son rəqəm $2$ ) $3$ -ə bölünür ( $1+2=3$ ), $13$ (son rəqəm $3$ ) isə $3$ -ə bölünmür ( $1+3=4$ ).

🚫Tez-tez səhv

Ümumi səhv: $5$ -ə bölünən hər ədədin $10$ -a da bölündüyünü güman etmək. $10$ -a bölünmə üçün son rəqəm mütləq $0$ olmalıdır. $45$ (son rəqəm $5$ ) $5$ -ə bölünür, lakin $10$ -a bölünmür. Əksinə, $10$ -a bölünən hər ədəd (son rəqəm $0$ ) həm $2$ -yə, həm də $5$ -ə bölünür.

⚠️Diqqət

Diqqət: $9$ -a bölünən hər ədəd $3$ -ə də bölünür (çünki $9 = 3 \times 3$ ), lakin $3$ -ə bölünən hər ədəd $9$ -a bölünmür. Məsələn, $6$ $3$ -ə bölünür ( $2 \times 3$ ), amma $6 \div 9$ tam ədəd vermir.

💡Qeyd

Qeyd: Bir ədədi eyni anda bir neçə əlaməti ödəyə bilər. $360$ üçün: son rəqəm $0$ ( $2, 5, 10$ -a bölünür) və rəqəmlər cəmi $3+6+0=9$ ( $3$ və $9$ -a bölünür) — beləliklə $360$ bütün beş əlaməti ödəyir.

Qaydalar

12-yə bölünmə: ədədin son rəqəmi 0, 2, 4, 6 və ya 8 olmalıdır (cüt olmalıdır).
25-ə bölünmə: ədədin son rəqəmi 0 və ya 5 olmalıdır.
310-a bölünmə: ədədin son rəqəmi 0 olmalıdır (2-yə də, 5-ə də bölünür).
43-ə bölünmə: ədədin bütün rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünməlidir.
59-a bölünmə: ədədin bütün rəqəmlərinin cəmi 9-a bölünməlidir (9-a bölünən 3-ə də bölünür).

Məşq

10 asan · 10 orta · 10 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq