g11m-5.3· Fəsil 5: Həndəsə, ölçmə və statistika· ~20 dəq

Stereometriya: həcm və səth

Prizma, paralelepiped, piramida, silindr, konus və kürənin həcmi ilə səthi.

Fəza fiqurlarının həcmi və səthi əsas düsturlarla hesablanır. Düz prizma və paralelepipedin həcmi V=S⋅hV = S\cdot h (oturacaq sahəsi vurulsun hündürlük), düzbucaqlı paralelepipedin həcmi isə V=a⋅b⋅cV = a\cdot b\cdot c-dir. Piramidanın həcmi prizmadan üç dəfə kiçikdir: V=13⋅S⋅hV = \frac{1}{3}\cdot S\cdot h.

Silindrin həcmi V=πr2hV = \pi r^2 h, yan səthi Syan=2πrhS_{yan} = 2\pi r h, tam səthi Stam=2πrh+2πr2=2πr(h+r)S_{tam} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h + r). Konusun həcmi V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h, yan səthi Syan=πrlS_{yan} = \pi r l (ll — yan tərəf, doğuran), tam səthi Stam=πrl+πr2=πr(l+r)S_{tam} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r).

Kürənin həcmi V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3, səthi isə S=4πr2S = 4\pi r^2-dir. Diqqət: radius rr ilə diametr d=2rd = 2r qarışdırılmamalıdır; piramida və konusda 13\frac{1}{3} əmsalı unudulmamalıdır; sual həcm, yoxsa səth istəyir — fərqləndirin. π\pi iştirak edən cavablar dəqiq simvolik formada (məsələn 36π36\pi) saxlanılır, təxmin edilmir.

Qrafiklər

Fırlanma cisimləri: silindr, konus və kürə — radius r, hündürlük h, doğuran l.
Fırlanma cisimləri: silindr, konus və kürə — radius r, hündürlük h, doğuran l.

Əsas terminlər

Həcm VV — Fəza fiqurunun tutduğu yerin ölçüsü; vahidi sm3\text{sm}^3. Prizma/silindr: oturacaq sahəsi vurulsun hündürlük.
Tam səth StamS_{tam} — Fiqurun bütün üzlərinin sahələrinin cəmi; vahidi sm2\text{sm}^2.
Doğuran ll — Konusun yan tərəfi; oturacaq radiusu rr və hündürlük hh ilə əlaqəsi l2=r2+h2l^2 = r^2 + h^2.
Hündürlük hh — Oturacaqdan uca nöqtəyə qədər olan dik məsafə; həcm düsturlarında oturacaq sahəsinə vurulur.
Radius rr və diametr dd — Dairə/kürənin mərkəzə məsafəsi rr; diametr d=2rd = 2r, deməli r=d2r = \frac{d}{2} qarışdırılmamalıdır.
Düzgün üçbucaqlı prizma — Oturacağı bərabərtərəfli üçbucaq olan düz prizma; tərəfi aa üçün oturacaq sahəsi a234\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.
Həcm və səth düsturları
FiqurHəcm VVSəth
Düzbucaqlı paralelepipeda⋅b⋅ca\cdot b\cdot cStam=2(ab+bc+ca)S_{tam} = 2(ab + bc + ca)
Kub (til aa)a3a^3Stam=6a2S_{tam} = 6a^2
Düz prizmaS⋅hS\cdot h—
Piramida13⋅S⋅h\frac{1}{3}\cdot S\cdot h—
Silindrπr2h\pi r^2 hSyan=2πrh, Stam=2πr(h+r)S_{yan} = 2\pi r h,\ S_{tam} = 2\pi r(h+r)
Konus13πr2h\frac{1}{3}\pi r^2 hSyan=πrl, Stam=πr(l+r)S_{yan} = \pi r l,\ S_{tam} = \pi r(l+r)
Kürə43πr3\frac{4}{3}\pi r^3S=4πr2S = 4\pi r^2

Bütün düsturlarda rr — radius, hh — hündürlük, ll — konusun doğuranı, SS — oturacaq sahəsi.

Ölçü dəyişəndə nisbətlər necə artır
Xətti ölçü nisbətiSəth nisbətiHəcm nisbəti
1:21:21:41:41:81:8
1:31:31:91:91:271:27
1:k1:k1:k21:k^21:k31:k^3

Xətti ölçü kk dəfə artırsa, səth k2k^2, həcm k3k^3 dəfə artır.

✎Konusun yan səthi (radius və hündürlük veriləndə)
  1. 1Verilənlər: Konusun oturacaq radiusu r=6r = 6 sm, hündürlüyü h=8h = 8 sm. Yan səth tələb olunur.
  2. 2Doğuranı tap: Yan səth düsturunda hündürlük yox, doğuran lazımdır: l=r2+h2=36+64=100=10l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 sm.
  3. 3Düsturu tətbiq et: Syan=πrl=π⋅6⋅10S_{yan} = \pi r l = \pi\cdot 6\cdot 10.
  4. 4Cavab: Syan=60πS_{yan} = 60\pi sm2^2.
✎Kürənin səthindən həcmini tapmaq
  1. 1Verilənlər: Kürənin səthi S=36πS = 36\pi sm2^2. Həcmi tələb olunur.
  2. 2Radiusu tap: S=4πr2=36πS = 4\pi r^2 = 36\pi, buradan r2=9r^2 = 9, yəni r=3r = 3 sm.
  3. 3Həcm düsturu: V=43πr3=43π⋅33=43π⋅27V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot 3^3 = \frac{4}{3}\pi\cdot 27.
  4. 4Cavab: V=36πV = 36\pi sm3^3.
🚫Tez-tez səhv

Piramida və konusda 13\frac{1}{3} əmsalını unutmayın. Oturacaq sahəsi 1818, hündürlük 66 olan piramidada S⋅h=108S\cdot h = 108 deyil, 13⋅108=36\frac{1}{3}\cdot 108 = 36 sm3^3 düzgündür.

⚠️Diqqət

Diametr veriləndə əvvəlcə r=d2r = \frac{d}{2} götürün. Diametr 66 olan kürədə r=3r = 3, V=43π⋅27=36πV = \frac{4}{3}\pi\cdot 27 = 36\pi; d=6d=6-nı birbaşa radius kimi qoymaq 288π288\pi kimi səhvə aparır.

⚠️Diqqət

Sual həcm, yan səth, yoxsa tam səth istəyir — diqqətlə oxuyun. Konusda πrl\pi r l yan səth, πr(l+r)\pi r(l+r) isə tam səthdir.

💡Qeyd

Silindrin yan səthində 22 əmsalı var (2πrh2\pi r h), konusun yan səthində isə yoxdur (πrl\pi r l). Bu fərq tez-tez qarışdırılır.

💡Qeyd

π\pi olan cavablar dəqiq simvolik formada saxlanılır (məsələn 36π36\pi), onları onluq kəsrə çevirib təxmin etmək lazım deyil.

Qaydalar

  1. 1Prizma/paralelepiped: V=S⋅hV = S\cdot h. Düzbucaqlı paralelepiped: V=a⋅b⋅cV = a\cdot b\cdot c, Stam=2(ab+bc+ca)S_{tam} = 2(ab + bc + ca).
  2. 2Piramida: V=13⋅S⋅hV = \frac{1}{3}\cdot S\cdot h (oturacaq sahəsi SS, hündürlük hh).
  3. 3Silindr: V=πr2hV = \pi r^2 h. Syan=2πrhS_{yan} = 2\pi r h. Stam=2πr(h+r)S_{tam} = 2\pi r(h + r).
  4. 4Konus: V=13πr2hV = \frac{1}{3}\pi r^2 h. Syan=πrlS_{yan} = \pi r l (ll — doğuran). Stam=πr(l+r)S_{tam} = \pi r(l + r). l2=r2+h2l^2 = r^2 + h^2.
  5. 5Kürə: V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3. S=4πr2S = 4\pi r^2. Diametr dd verilibsə, r=d2r = \frac{d}{2} götür.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq