g11m-5.2· Fəsil 5: Həndəsə, ölçmə və statistika· ~20 dəq

Çevrə, dairə və dördbucaqlılar

Çevrənin uzunluğu, dairənin sahəsi, qövs və sektor, mərkəzi və daxili bucaqlar, dördbucaqlıların sahə və perimetri.

Radiusu rr olan çevrənin uzunluğu C=2πrC = 2\pi r, dairənin sahəsi isə S=πr2S = \pi r^2-dir (d=2rd = 2r diametr olduqda C=πdC = \pi d). Mərkəzi bucağı θ∘\theta^\circ olan qövsün uzunluğu l=θ360⋅2πrl = \frac{\theta}{360}\cdot 2\pi r, həmin θ∘\theta^\circ-yə uyğun sektorun sahəsi isə Ssek=θ360⋅πr2S_{sek} = \frac{\theta}{360}\cdot \pi r^2-dir.

Mərkəzi bucaq özünün söykəndiyi qövsün dərəcə ölçüsünə bərabərdir; eyni qövsə söykənən daxili (çevrə) bucaq isə mərkəzi bucağın yarısına bərabərdir (β=θ2\beta = \frac{\theta}{2}). Diametrə söykənən daxili bucaq həmişə 90∘90^\circ-dir (Fales teoremi).

Dördbucaqlıların sahələri: düzbucaqlı S=a⋅bS = a\cdot b, kvadrat S=a2S = a^2, paraleloqram S=a⋅hS = a\cdot h (aa oturacaq, hh ona endirilmiş hündürlük), romb S=d1⋅d22S = \frac{d_1\cdot d_2}{2} (diaqonalların hasilinin yarısı), trapesiya S=a+b2⋅hS = \frac{a + b}{2}\cdot h (aa və bb paralel tərəflər). Çevrədaxili (xaricinə çevrə çəkilmiş) düzbucaqlının diaqonalı çevrənin diametrinə bərabərdir; kvadratın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu tərəfin yarısı, xaricinə çəkilən çevrənin radiusu isə diaqonalın yarısıdır.

Qrafiklər

Mərkəzi bucaq (2β) və ona söykənən daxilçevrə bucağı (β): daxili bucaq mərkəzi bucağın yarısıdır
Mərkəzi bucaq (2β) və ona söykənən daxilçevrə bucağı (β): daxili bucaq mərkəzi bucağın yarısıdır

Əsas terminlər

Çevrənin uzunluğu — Radiusu rr olan çevrənin uzunluğu C=2πr=πdC = 2\pi r = \pi d, burada d=2rd = 2r diametrdir.
Dairənin sahəsi — Radiusu rr olan dairənin sahəsi S=πr2S = \pi r^2-dir.
Qövs və sektor — Mərkəzi bucağı θ∘\theta^\circ olan qövsün uzunluğu l=θ360⋅2πrl = \frac{\theta}{360}\cdot 2\pi r, sektorun sahəsi Ssek=θ360⋅πr2S_{sek} = \frac{\theta}{360}\cdot \pi r^2-dir.
Mərkəzi bucaq — Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucaq; söykəndiyi qövsün dərəcə ölçüsünə bərabərdir.
Daxili (çevrə) bucaq — Təpəsi çevrə üzərində olan bucaq; eyni qövsə söykənən mərkəzi bucağın yarısına bərabərdir (β=θ2\beta = \frac{\theta}{2}).
Halqa — İki konsentrik çevrə arasında qalan zolaq; sahəsi π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2)-dir (RR böyük, rr kiçik radius).
Dördbucaqlıların sahə düsturları
FiqurSahəPerimetr
DüzbucaqlıS=a⋅bS = a\cdot bP=2(a+b)P = 2(a + b)
KvadratS=a2S = a^2P=4aP = 4a
ParaleloqramS=a⋅hS = a\cdot h—
RombS=d1⋅d22S = \frac{d_1\cdot d_2}{2}—
TrapesiyaS=a+b2⋅hS = \frac{a + b}{2}\cdot h—

aa, bb — tərəflər; hh — hündürlük; d1d_1, d2d_2 — diaqonallar.

Çevrə və daxili dördbucaqlı münasibətləri
HalMünasibət
Çevrəyə daxil düzbucaqlıdiaqonal == diametr
Kvadratın daxilinə çəkilmiş çevrər=r = tərəfin yarısı
Kvadratın xaricinə çəkilmiş çevrər=r = diaqonalın yarısı
Diametrə söykənən daxili bucaq90∘90^\circ (Fales teoremi)

Çevrədaxili və çevrəxarici dördbucaqlıların əsas əlaqələri.

✎Sektorun sahəsi
  1. 1Verilənlər: Radiusu r=6r = 6 olan dairədə θ=120∘\theta = 120^\circ-lik mərkəzi bucağa uyğun sektorun sahəsini tapmalıyıq.
  2. 2Düstur: Ssek=θ360⋅πr2S_{sek} = \frac{\theta}{360}\cdot \pi r^2.
  3. 3Nisbəti hesabla: θ360=120360=13\frac{\theta}{360} = \frac{120}{360} = \frac{1}{3}.
  4. 4Yerinə yaz: Ssek=13⋅π⋅62=13⋅36πS_{sek} = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{3}\cdot 36\pi.
  5. 5Cavab: Ssek=12πS_{sek} = 12\pi.
✎Çevrəyə daxil edilmiş düzbucaqlının radiusu
  1. 1Verilənlər: Düzbucaqlının tərəfləri 55 sm və 1212 sm; təpələri çevrə üzərindədir. Çevrənin radiusunu tapmalıyıq.
  2. 2Açar fakt: Çevrəyə daxil düzbucaqlının diaqonalı çevrənin diametrinə bərabərdir.
  3. 3Diaqonalı tap (Pifaqor): d=52+122=25+144=169=13d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 sm.
  4. 4Radiusu tap: r=d2=132r = \frac{d}{2} = \frac{13}{2}.
  5. 5Cavab: r=6,5r = 6{,}5 sm.
🚫Tez-tez səhv

Daxili bucaq mərkəzi bucağa vurulmur, ikiyə bölünür: β=θ2\beta = \frac{\theta}{2}. Məsələn θ=100∘\theta = 100^\circ üçün daxili bucaq 50∘50^\circ-dir, 200∘200^\circ deyil.

⚠️Diqqət

C=2πrC = 2\pi r (uzunluq) ilə S=πr2S = \pi r^2 (sahə) düsturlarını qarışdırma: r=7r = 7 üçün uzunluq 14π14\pi, sahə isə 49π49\pi-dir.

⚠️Diqqət

Diametr verildikdə əvvəl r=d2r = \frac{d}{2} tapıb sonra düstura yaz: d=10d = 10 üçün dairənin sahəsi π⋅52=25π\pi\cdot 5^2 = 25\pi-dir, 100π100\pi deyil.

💡Qeyd

Diametrə söykənən daxili bucaq həmişə 90∘90^\circ-dir (Fales teoremi) — yarımdairəyə söykənən istənilən təpə düz bucaq verir.

💡Qeyd

Sektorun perimetri iki radius və bir qövsdən ibarətdir: P=2r+lP = 2r + l. r=6r = 6, 90∘90^\circ üçün P=12+3πP = 12 + 3\pi-dir.

Qaydalar

  1. 1Çevrənin uzunluğu: C=2πr=πdC = 2\pi r = \pi d. Dairənin sahəsi: S=πr2S = \pi r^2.
  2. 2Qövsün uzunluğu: l=θ360⋅2πrl = \frac{\theta}{360}\cdot 2\pi r. Sektorun sahəsi: Ssek=θ360⋅πr2S_{sek} = \frac{\theta}{360}\cdot \pi r^2.
  3. 3Mərkəzi bucaq = söykəndiyi qövs; daxili bucaq = mərkəzi bucağın yarısı (β=θ2\beta = \frac{\theta}{2}). Diametrə söykənən daxili bucaq = 90∘90^\circ.
  4. 4Düzbucaqlı: S=a⋅bS = a\cdot b, P=2(a+b)P = 2(a + b). Kvadrat: S=a2S = a^2, P=4aP = 4a. Paraleloqram: S=a⋅hS = a\cdot h. Romb: S=d1⋅d22S = \frac{d_1\cdot d_2}{2}.
  5. 5Trapesiya: S=a+b2⋅hS = \frac{a + b}{2}\cdot h. Çevrəyə daxil edilmiş düzbucaqlının diaqonalı = diametr; halqanın sahəsi = π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2).

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq