g11m-5.1· Fəsil 5: Həndəsə, ölçmə və statistika· ~22 dəq

Üçbucaqlar

Pifaqor teoremi, üçbucağın sahəsi, sinus və kosinus teoremləri, oxşarlıq, metrik münasibətlər.

Düzbucaqlı üçbucaqda katetlər aa, bb və hipotenuz cc üçün Pifaqor teoremi: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. Üçbucağın sahəsini bir neçə düsturla tapmaq olar: oturacaq aa və ona çəkilmiş hündürlük hh üçün S=12ahS = \frac{1}{2}ah; iki tərəf və aralarındakı bucaq üçün S=12absin⁡CS = \frac{1}{2}ab\sin C; üç tərəf məlum olduqda Heron düsturu S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, burada p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2} yarımperimetrdir.

İstənilən üçbucaqda sinus teoremi asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R (RR — çevrəyə xaric çevrənin radiusu), kosinus teoremi isə c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C düsturu ilə verilir. Oxşar üçbucaqlarda uyğun tərəflər mütənasibdir (oxşarlıq əmsalı kk), sahələrin nisbəti isə əmsalın kvadratına bərabərdir: S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2.

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza çəkilmiş hündürlük hh üçün metrik münasibətlər: h2=m⋅nh^2 = m\cdot n (proyeksiyaların həndəsi ortası), kateti2=hipotenuz⋅o¨z proyeksiyası\text{kateti}^2 = \text{hipotenuz}\cdot\text{öz proyeksiyası}, h=kateti⋅katetihipotenuzh = \frac{\text{kateti}\cdot\text{kateti}}{\text{hipotenuz}}. Medianlar üçbucağı tən mərkəzdə (sentroid) 2:12:1 nisbətində bölür.

Əsas terminlər

Pifaqor teoremi — Düzbucaqlı üçbucaqda katetlər aa, bb və hipotenuz cc üçün a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2.
Heron düsturu — Üç tərəfi məlum üçbucağın sahəsi S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, burada p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2} yarımperimetrdir.
Sinus teoremi — İstənilən üçbucaqda asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R (RR — xaric çevrənin radiusu).
Kosinus teoremi — İstənilən üçbucaqda c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C; iki tərəf və aralarındakı bucaqdan üçüncü tərəf tapılır.
Oxşarlıq əmsalı kk — Oxşar üçbucaqlarda uyğun tərəflər mütənasibdir; sahələrin nisbəti S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2.
Hipotenuza çəkilmiş hündürlük — Metrik münasibətlər: h2=m⋅nh^2 = m\cdot n (proyeksiyaların həndəsi ortası), h=abch = \frac{ab}{c} (aa, bb — katetlər).
Üçbucağın əsas düsturları
MəsələDüstur
Pifaqor teoremia2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
Sahə (oturacaq və hündürlük)S=12ahS = \frac{1}{2}ah
Sahə (iki tərəf və bucaq)S=12absin⁡CS = \frac{1}{2}ab\sin C
Sahə (Heron)S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
Sinus teoremiasin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
Kosinus teoremic2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Üçbucaqlarla bağlı məsələlərdə istifadə olunan əsas düsturlar.

Üçbucağın növü (cc — ən böyük tərəf)
ŞərtÜçbucağın növü
c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2Düzbucaqlı
c2<a2+b2c^2 < a^2 + b^2İti bucaqlı
c2>a2+b2c^2 > a^2 + b^2Kütbucaqlı

Ən böyük tərəfin kvadratını digər iki tərəfin kvadratları cəmi ilə müqayisə edib növü təyin etmək olar.

✎Heron düsturu ilə sahə (1313, 1414, 1515)
  1. 1Yarımperimetri tap: p=13+14+152=422=21p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21
  2. 2Hər (p−tərəf)(p-\text{tərəf})-i hesabla: p−a=21−13=8p-a = 21-13 = 8, p−b=21−14=7p-b = 21-14 = 7, p−c=21−15=6p-c = 21-15 = 6
  3. 3Heron düsturunda yerinə yaz: S=21⋅8⋅7⋅6=7056S = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt{7056}
  4. 4Kökü hesabla: S=7056=84S = \sqrt{7056} = 84
✎Kosinus teoremi ilə tərəf (b=8b = 8, c=3c = 3, ∠A=60∘\angle A = 60^\circ)
  1. 1Düsturu yaz: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
  2. 2Qiymətləri yerinə yaz: a2=82+32−2⋅8⋅3⋅cos⁡60∘a^2 = 8^2 + 3^2 - 2\cdot 8\cdot 3\cdot\cos 60^\circ
  3. 3cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2} ilə hesabla: a2=64+9−48⋅12=73−24=49a^2 = 64 + 9 - 48\cdot\frac{1}{2} = 73 - 24 = 49
  4. 4Kökü al: a=49=7a = \sqrt{49} = 7
⚠️Diqqət

S=12absin⁡CS = \frac{1}{2}ab\sin C düsturunda sin⁡C\sin C vurmağı unutma və 12\frac{1}{2} əmsalını saxla; məsələn 88, 55, 45∘45^\circ üçün S=12⋅8⋅5⋅22=102S = \frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}.

🚫Tez-tez səhv

Kosinus teoremində işarəyə diqqət: cos⁡60∘=+0,5\cos 60^\circ = +0,5 olduğundan −2abcos⁡C-2ab\cos C həddi mənfidir. a=5a=5, b=7b=7, C=60∘C=60^\circ üçün c2=25+49−35=39c^2 = 25+49-35 = 39, 74+3574+35 deyil.

💡Qeyd

Düzbucaqlı üçbucaqda xaric çevrənin radiusu hipotenuzun yarısına bərabərdir (R=c2R = \frac{c}{2}), çünki hipotenuz diametrdir.

💡Qeyd

30∘30^\circ-lik bucağın qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir; deməli hipotenuz həmin katetin iki qatıdır.

⚠️Diqqət

Üçbucağın bir tərəfi digər iki tərəfin fərqi ilə cəmi arasında olmalıdır; 44 və 99 üçün üçüncü tərəf 55 ilə 1313 arasındadır, 1313 ola bilməz.

Qaydalar

  1. 1Pifaqor teoremi: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 (cc — hipotenuz).
  2. 2Sahə: S=12ah=12absin⁡C=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ab\sin C = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, p=a+b+c2p = \frac{a+b+c}{2}.
  3. 3Sinus teoremi: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.
  4. 4Kosinus teoremi: c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.
  5. 5Oxşarlıq: uyğun tərəflər mütənasib (əmsal kk), sahələr nisbəti S1S2=k2\frac{S_1}{S_2} = k^2.
  6. 6Düzbucaqlı üçbucaqda hündürlük: h2=m⋅nh^2 = m\cdot n, kateti2=c⋅(o¨z proyeksiyası)\text{kateti}^2 = c\cdot(\text{öz proyeksiyası}), h=abch = \frac{ab}{c}.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq