g11m-4.2· Fəsil 4: Triqonometriya· ~20 dəq

Triqonometrik tənliklər

Sadə triqonometrik tənliklər, ümumi həll düsturları, xüsusi hallar, kvadrat şəklə gətirilən tənliklər, verilmiş aralıqda kök sayı.

Sadə triqonometrik tənliklərin ümumi həlli aşağıdakı düsturlarla yazılır. cos⁡x=a\cos x = a tənliyinin (∣a∣≤1|a| \le 1) həlli: x=±arccos⁡a+2πnx = \pm\arccos a + 2\pi n, n∈Zn\in\mathbb{Z}. sin⁡x=a\sin x = a tənliyinin (∣a∣≤1|a| \le 1) həlli: x=(−1)narcsin⁡a+πnx = (-1)^n\arcsin a + \pi n, n∈Zn\in\mathbb{Z}. tan⁡x=a\tan x = a tənliyinin (istənilən aa) həlli: x=arctan⁡a+πnx = \arctan a + \pi n, n∈Zn\in\mathbb{Z}.

Diqqət: cos⁡\cos və tan⁡\tan-ın dövrü bir-birindən fərqlənir — sin⁡\sin və cos⁡\cos əsas dövrü 2π2\pi, lakin sin⁡\sin üçün (−1)n(-1)^n işarəsi ilə düstur πn\pi n ilə yazılır; tan⁡\tan-ın dövrü isə πn\pi n-dir. Xüsusi hallar əzbər bilinməlidir: sin⁡x=0⇒x=πn\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n; sin⁡x=1⇒x=π2+2πn\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; sin⁡x=−1⇒x=−π2+2πn\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n; cos⁡x=0⇒x=π2+πn\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n; cos⁡x=1⇒x=2πn\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n; cos⁡x=−1⇒x=π+2πn\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n.

Bir çox tənlik əvəzləmə ilə kvadrat tənliyə gətirilir: məsələn 2sin⁡2x−3sin⁡x+1=02\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 tənliyində t=sin⁡xt = \sin x əvəzləməsi 2t2−3t+1=02t^2 - 3t + 1 = 0 verir; sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x əvəzləməsi ilə tənliyi yalnız cos⁡\cos (və ya sin⁡\sin) ilə ifadə etmək olar. Tapılan tt qiymətləri −1≤t≤1-1 \le t \le 1 şərtini ödəməlidir. Verilmiş aralıqda kök sayını tapmaq üçün ümumi həlldə nn-ə tam qiymətlər verib aralığa düşən kökləri saymaq lazımdır.

Qrafiklər

y = sin x və y = cos x funksiyalarının [0, 2π] aralığındakı qrafikləri
y = sin x və y = cos x funksiyalarının [0, 2π] aralığındakı qrafikləri

Əsas terminlər

Sadə triqonometrik tənlik — sin⁡x=a\sin x=a, cos⁡x=a\cos x=a və ya tan⁡x=a\tan x=a şəklində olan, məchulu triqonometrik funksiyanın arqumentində duran tənlik.
Ümumi həll — Tənliyin bütün köklərini n∈Zn\in\mathbb{Z} parametri ilə əhatə edən düstur, məsələn x=arctan⁡a+πnx=\arctan a+\pi n.
Dövr — Köklərin təkrarlanma addımı: sin⁡\sin və cos⁡\cos üçün 2π2\pi, lakin tan⁡x=a\tan x=a həllində πn\pi n yazılır.
Xüsusi hallar — sin⁡x\sin x və ya cos⁡x\cos x-in 0, 1, −10,\ 1,\ -1 qiymətlərinə uyğun əzbər bilinən hazır köklər, məsələn cos⁡x=0⇒x=π2+πn\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.
Əvəzləmə (kvadrat şəklə gətirmə) — t=sin⁡xt=\sin x və ya t=cos⁡xt=\cos x qoyub tənliyi tt-yə görə kvadrat tənliyə çevirmə; ∣t∣≤1|t|\le 1 şərti yoxlanılır.
Aralıqda kök sayı — Ümumi həldə nn-ə tam qiymətlər verib verilmiş aralığa düşən kökləri saymaqla tapılan ədəd.
Sadə tənliklərin ümumi həll düsturları
TənlikŞərtÜmumi həll
cos⁡x=a\cos x=a∣a∣≤1|a|\le 1x=±arccos⁡a+2πnx=\pm\arccos a+2\pi n
sin⁡x=a\sin x=a∣a∣≤1|a|\le 1x=(−1)narcsin⁡a+πnx=(-1)^n\arcsin a+\pi n
tan⁡x=a\tan x=aistənilən aax=arctan⁡a+πnx=\arctan a+\pi n

Bütün hallarda n∈Zn\in\mathbb{Z}. sin⁡\sin və cos⁡\cos üçün ∣a∣>1|a|>1 olduqda kök yoxdur.

Xüsusi hallar (əzbər bilinməli)
TənlikÜmumi həll
sin⁡x=0\sin x=0x=πnx=\pi n
sin⁡x=1\sin x=1x=π2+2πnx=\frac{\pi}{2}+2\pi n
sin⁡x=−1\sin x=-1x=−π2+2πnx=-\frac{\pi}{2}+2\pi n
cos⁡x=0\cos x=0x=π2+πnx=\frac{\pi}{2}+\pi n
cos⁡x=1\cos x=1x=2πnx=2\pi n
cos⁡x=−1\cos x=-1x=π+2πnx=\pi+2\pi n

n∈Zn\in\mathbb{Z}. tan⁡x=0\tan x=0 halı sin⁡x=0\sin x=0 ilə üst-üstə düşür: x=πnx=\pi n.

✎cos⁡x=−12\cos x=-\frac{1}{2} tənliyinin ümumi həlli
  1. 1Düsturu seç: cos⁡x=a\cos x=a olduğundan x=±arccos⁡a+2πnx=\pm\arccos a+2\pi n düsturunu yazırıq.
  2. 2Əsas qiyməti tap: Mənfi qiymət üçün arccos⁡(−12)=2π3\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}.
  3. 3Yerinə yaz: x=±2π3+2πnx=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n∈Zn\in\mathbb{Z}.
  4. 4Diqqət: ±\pm işarəsi və 2πn2\pi n dövrü kosinusa aiddir; π3\frac{\pi}{3} isə cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} üçündür.
✎2sin⁡2x−3sin⁡x+1=02\sin^2 x-3\sin x+1=0 tənliyinin tam həlli
  1. 1Əvəzləmə: t=sin⁡xt=\sin x qoyaq: 2t2−3t+1=02t^2-3t+1=0.
  2. 2Kvadrat tənliyi həll et: Köklər t=1t=1 və t=12t=\frac{1}{2}; hər ikisi ∣t∣≤1|t|\le 1 şərtini ödəyir.
  3. 3sin⁡x=1\sin x=1: Xüsusi hal: x=π2+2πnx=\frac{\pi}{2}+2\pi n.
  4. 4sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2}: x=(−1)nπ6+πnx=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n, çünki arcsin⁡12=π6\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}.
  5. 5Cavab: x=π2+2πnx=\frac{\pi}{2}+2\pi n və x=(−1)nπ6+πnx=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n, n∈Zn\in\mathbb{Z}.
🚫Tez-tez səhv

sin⁡\sin ilə cos⁡\cos düsturlarını qarışdırma: sinus üçün (−1)n(-1)^n işarəsi və πn\pi n dövrü, kosinus üçün ±\pm işarəsi və 2πn2\pi n dövrü götürülür.

⚠️Diqqət

tan⁡x=a\tan x=a tənliyinin dövrü πn\pi n-dir, 2πn2\pi n deyil; ona görə tan⁡x=3⇒x=π3+πn\tan x=\sqrt{3}\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n.

⚠️Diqqət

Arqumentdə 2x2x, 3x3x və ya x2\frac{x}{2} olduqda dövr də dəyişir: cos⁡3x=1\cos 3x=1-dən 3x=2πn3x=2\pi n, yəni x=2πn3x=\frac{2\pi n}{3} alınır.

🚫Tez-tez səhv

Mənfi qiymət üçün əsas bucağı düz seç: arccos⁡(−12)=2π3\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}, π3\frac{\pi}{3} deyil.

💡Qeyd

Əvəzləmədən sonra hər tt kökünü ∣t∣≤1|t|\le 1 şərtinə görə yoxla: məsələn t=32t=\frac{3}{2} məqbul deyil və atılır.

Qaydalar

  1. 1cos⁡x=a\cos x = a (∣a∣≤1|a| \le 1): x=±arccos⁡a+2πnx = \pm\arccos a + 2\pi n, n∈Zn\in\mathbb{Z}. cos⁡x=0⇒x=π2+πn\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n; cos⁡x=1⇒x=2πn\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n; cos⁡x=−1⇒x=π+2πn\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n.
  2. 2sin⁡x=a\sin x = a (∣a∣≤1|a| \le 1): x=(−1)narcsin⁡a+πnx = (-1)^n\arcsin a + \pi n, n∈Zn\in\mathbb{Z}. sin⁡x=0⇒x=πn\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n; sin⁡x=1⇒x=π2+2πn\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n; sin⁡x=−1⇒x=−π2+2πn\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.
  3. 3tan⁡x=a\tan x = a: x=arctan⁡a+πnx = \arctan a + \pi n, n∈Zn\in\mathbb{Z} (dövr πn\pi n, 2πn2\pi n deyil).
  4. 4Kvadrat şəklə gətirmə: t=sin⁡xt = \sin x (və ya cos⁡x\cos x) əvəzlə, sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x istifadə et; alınan tt üçün ∣t∣≤1|t| \le 1 yoxla.
  5. 5Aralıqda kök sayı: ümumi həldə nn-ə tam qiymətlər ver və aralığa düşən kökləri say.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq