g11m-4.1· Fəsil 4: Triqonometriya· ~18 dəq

Triqonometrik ifadələr

Dərəcə və radian, əsas qiymətlər, əsas eynilik, gətirmə düsturları, cəm/fərq və ikiqat bucaq düsturları, ifadələrin sadələşdirilməsi.

Bucağın dərəcə və radian ölçüləri 180∘=π180^\circ=\pi düsturu ilə bağlıdır: radiana keçmək üçün dərəcəni π180\frac{\pi}{180}-ə vurmaq, dərəcəyə keçmək üçün radianı 180π\frac{180}{\pi}-yə vurmaq lazımdır. Cədvəl qiymətləri: sin⁡0∘=0\sin 0^\circ=0, sin⁡30∘=12\sin 30^\circ=\frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡60∘=32\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡90∘=1\sin 90^\circ=1; cos⁡0∘=1\cos 0^\circ=1, cos⁡30∘=32\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡45∘=22\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\frac{1}{2}, cos⁡90∘=0\cos 90^\circ=0; tan⁡45∘=1\tan 45^\circ=1.

Əsas triqonometrik eynilik: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. Gətirmə düsturları kvadrant və simmetriyaya görə işarəni və funksiyanı təyin edir: sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha, cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha, sin⁡(90∘+α)=cos⁡α\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha, cos⁡(90∘+α)=−sin⁡α\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha, sin⁡(180∘+α)=−sin⁡α\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha, cos⁡(360∘−α)=cos⁡α\cos(360^\circ-\alpha)=\cos\alpha.

Cəm və fərq düsturları: sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta, cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta. İkiqat bucaq düsturları: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha, cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1. İfadələri sadələşdirərkən əsas eynilikdən və bu düsturlardan istifadə olunur.

Qrafiklər

Vahid çevrə: α bucağına uyğun P nöqtəsi, cos α (absis) və sin α (ordinat)
Vahid çevrə: α bucağına uyğun P nöqtəsi, cos α (absis) və sin α (ordinat)

Əsas terminlər

Radian — Bucağın ölçü vahidi. 180∘=π180^\circ=\pi radian; dərəcəni radiana çevirmək üçün π180\frac{\pi}{180}-ə vurulur.
Əsas triqonometrik eynilik — İstənilən α\alpha üçün sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 münasibəti.
Gətirmə düsturları — Bucağı 90∘90^\circ, 180∘180^\circ, 360∘360^\circ-yə görə ifadə edib, kvadranta uyğun funksiya və işarəni təyin edən düsturlar.
Cəm və fərq düsturları — İki bucağın cəmi/fərqi üçün: sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta, cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.
İkiqat bucaq düsturları — sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha və cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1.
Kotangens — cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} (sin⁡α≠0\sin\alpha\ne 0); tangensin tərsi münasibəti.
Standart bucaqların cədvəl qiymətləri
Bucaqsin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
0∘0^\circ001100
30∘30^\circ12\frac{1}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}33\frac{\sqrt{3}}{3}
45∘45^\circ22\frac{\sqrt{2}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}11
60∘60^\circ32\frac{\sqrt{3}}{2}12\frac{1}{2}3\sqrt{3}
90∘90^\circ1100−-

Əsas qiymətlər; tan⁡45∘=1\tan 45^\circ=1, tan⁡90∘\tan 90^\circ təyin olunmur.

Rüblərə görə sin⁡\sin və cos⁡\cos işarəsi
RübBucaq aralığısin⁡\sincos⁡\cos
I0∘0^\circ–90∘90^\circ++++
II90∘90^\circ–180∘180^\circ++−-
III180∘180^\circ–270∘270^\circ−-−-
IV270∘270^\circ–360∘360^\circ−-++

Məsələn IV rübdə sin⁡300∘=−32\sin 300^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡330∘=32\cos 330^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.

✎Gətirmə ilə sin⁡150∘\sin 150^\circ tapmaq
  1. 1Bucağı qur: 150∘=180∘−30∘150^\circ=180^\circ-30^\circ, yəni II rübdədir.
  2. 2Gətirmə düsturu: sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha, ona görə sin⁡150∘=sin⁡30∘\sin 150^\circ=\sin 30^\circ.
  3. 3İşarə yoxla: II rübdə sin⁡>0\sin>0, deməli nəticə müsbətdir.
  4. 4Cavab: sin⁡150∘=12\sin 150^\circ=\frac{1}{2}.
✎İkiqat bucaqla cos⁡2α\cos 2\alpha tapmaq (sin⁡α=35\sin\alpha=\frac{3}{5}, α\alpha kəskin)
  1. 1Düsturu seç: Yalnız sin⁡α\sin\alpha verildiyi üçün cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha münasibətini götürürük.
  2. 2Kvadrata yerləşdir: sin⁡2α=(35)2=925\sin^2\alpha=\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}.
  3. 3Hesabla: cos⁡2α=1−2⋅925=1−1825=725\cos 2\alpha=1-2\cdot\frac{9}{25}=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}.
  4. 4Cavab: cos⁡2α=725\cos 2\alpha=\frac{7}{25}.
🚫Tez-tez səhv

İkiqat bucaqda 22 əmsalını unutmayın: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha. Məsələn sin⁡α=−45\sin\alpha=-\frac{4}{5}, cos⁡α=35\cos\alpha=\frac{3}{5} üçün 2⋅(−1225)=−24252\cdot\left(-\frac{12}{25}\right)=-\frac{24}{25}, sadəcə −1225-\frac{12}{25} deyil.

⚠️Diqqət

Cədvəl qiymətini tapdıqdan sonra rübə görə işarəni mütləq yoxlayın: sin⁡300∘=−32\sin 300^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}, çünki IV rübdə sin⁡\sin mənfidir.

💡Qeyd

cos⁡2θ−sin⁡2θ=cos⁡2θ\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos 2\theta olduğunu görün: cos⁡215∘−sin⁡215∘=cos⁡30∘=32\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.

💡Qeyd

2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta qısayolu: 2sin⁡15∘cos⁡15∘=sin⁡30∘=122\sin 15^\circ\cos 15^\circ=\sin 30^\circ=\frac{1}{2} (yəni 0,50{,}5).

⚠️Diqqət

Sadələşdirmədə əsas eynilikdən istifadə edin: 1−cos⁡2α=sin⁡2α1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha, ona görə 1−cos⁡2αsin⁡α=sin⁡α\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin\alpha}=\sin\alpha.

Qaydalar

  1. 1Əsas eynilik: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.
  2. 2180∘=π180^\circ=\pi; dərəcə→radian: ×π180\times\frac{\pi}{180}, radian→dərəcə: ×180π\times\frac{180}{\pi}.
  3. 3Gətirmə: sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha, cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha, cos⁡(360∘−α)=cos⁡α\cos(360^\circ-\alpha)=\cos\alpha, sin⁡(180∘+α)=−sin⁡α\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha.
  4. 4Cəm/fərq: sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta; cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.
  5. 5İkiqat bucaq: sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha; cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=1−2sin⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq