g11m-3.3· Fəsil 3: Funksiyalar və ardıcıllıqlar· ~20 dəq

Koordinat müstəvisi və vektorlar

İki nöqtə arası məsafə, parçanın orta nöqtəsi, düz xəttin tənliyi, vektorlar və skalyar hasil.

Koordinat müstəvisində A(x1; y1)A(x_1;\,y_1) və B(x2; y2)B(x_2;\,y_2) nöqtələri arasındakı məsafə Pifaqor teoremindən alınır: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. ABAB parçasının orta nöqtəsinin koordinatları uc nöqtələrin koordinatlarının ədədi ortasıdır: M(x1+x22; y1+y22)M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2}\right).

Düz xəttin tənliyi y=kx+by = kx + b şəklindədir; burada kk bucaq əmsalıdır və iki nöqtədən k=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} düsturu ilə tapılır. İki düz xətt paralel olduqda bucaq əmsalları bərabər (k1=k2k_1 = k_2), perpendikulyar olduqda isə k1⋅k2=−1k_1\cdot k_2 = -1 olur.

Vektorun koordinatları onun uc nöqtələrinin fərqi kimi tapılır: AB⃗=(x2−x1; y2−y1)\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1). Vektorun uzunluğu ∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}-dir. İki vektorun cəmi və fərqi koordinatlar üzrə hesablanır, ədədə vurmada hər koordinat həmin ədədə vurulur. İki vektorun skalyar hasili a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 olur; vektorlar perpendikulyar olduqda skalyar hasil sıfıra bərabərdir: a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 0.

📌Nümunə

Məsələn: A(1; 2)A(1;\,2) və B(4; 6)B(4;\,6) üçün d=32+42=25=5d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.

Qrafiklər

Koordinat müstəvisində A(1; 2) və B(5; 6) nöqtələri; AB vektoru və d məsafəsi
Koordinat müstəvisində A(1; 2) və B(5; 6) nöqtələri; AB vektoru və d məsafəsi

Əsas terminlər

İki nöqtə arası məsafə — A(x1; y1)A(x_1;\,y_1) və B(x2; y2)B(x_2;\,y_2) üçün d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} — Pifaqor teoremindən alınır.
Orta nöqtə — ABAB parçasının ortası uc nöqtələrin koordinatlarının ədədi ortasıdır: M(x1+x22; y1+y22)M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2}\right).
Bucaq əmsalı kk — Düz xəttin y=kx+by = kx + b tənliyində mailliyi göstərən əmsal; iki nöqtədən k=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Vektorun koordinatları — AB⃗=(x2−x1; y2−y1)\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1) — uc nöqtələrin fərqi. Uzunluq: ∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}.
Skalyar hasil — a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 — uyğun koordinatların hasillərinin cəmi (nəticə ədəddir).
Perpendikulyarlıq şərti — İki vektor perpendikulyardırsa a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 0; iki düz xətt perpendikulyardırsa k1⋅k2=−1k_1\cdot k_2 = -1.
Koordinat müstəvisinin əsas düsturları
AnlayışDüstur
Məsafəd=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
Orta nöqtəM(x1+x22; y1+y22)M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2}\right)
Bucaq əmsalık=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
Vektorun koordinatıAB⃗=(x2−x1; y2−y1)\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1)
Vektorun uzunluğu∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}
Skalyar hasila⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2

Bütün düsturlar lessonun əsas qaydalarıdır.

Düz xətlərin qarşılıqlı vəziyyəti və vektor əməlləri
HalŞərt / QaydaNümunə
Paralel xətlərk1=k2k_1 = k_2y=3x−5∥y=3x+2y = 3x-5 \parallel y = 3x+2
Perpendikulyar xətlərk1⋅k2=−1k_1\cdot k_2 = -1y=2x+3⊥y=−x2+4y = 2x+3 \perp y = -\frac{x}{2}+4
Perpendikulyar vektorlara⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 0(1; 0)⋅(0; 7)=0(1;\,0)\cdot(0;\,7) = 0
Vektorun cəmikoordinatlar toplanır(2; 5)+(3; 1)=(5; 6)(2;\,5)+(3;\,1) = (5;\,6)
Ədədə vurmahər koordinat vurulur3⋅(2; −1)=(6; −3)3\cdot(2;\,-1) = (6;\,-3)

Hər koordinat üzrə ayrıca işlənir; işarəyə diqqət.

✎Düz xəttin tənliyini tapmaq: A(1; 3)A(1;\,3), B(3; 7)B(3;\,7)
  1. 1Bucaq əmsalını tap: k=y2−y1x2−x1=7−33−1=42=2k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{7-3}{3-1} = \frac{4}{2} = 2.
  2. 2Tənliyə yerləşdir: y=kx+by = kx + b, yəni y=2x+by = 2x + b. A(1; 3)A(1;\,3) nöqtəsini qoy: 3=2⋅1+b3 = 2\cdot1 + b.
  3. 3bb-ni tap: 3=2+b⇒b=13 = 2 + b \Rightarrow b = 1.
  4. 4Cavab: Düz xəttin tənliyi: y=2x+1y = 2x + 1.
✎Vektorların perpendikulyarlığı: a⃗(2; 3)\vec{a}(2;\,3), b⃗(m; −4)\vec{b}(m;\,-4)
  1. 1Şərti yaz: Vektorlar perpendikulyardırsa skalyar hasil sıfırdır: a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 0.
  2. 2Skalyar hasili qur: a⃗⋅b⃗=2⋅m+3⋅(−4)=2m−12\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\cdot m + 3\cdot(-4) = 2m - 12.
  3. 3Tənliyi həll et: 2m−12=0⇒2m=12⇒m=62m - 12 = 0 \Rightarrow 2m = 12 \Rightarrow m = 6.
  4. 4Cavab: m=6m = 6.
🚫Tez-tez səhv

Skalyar hasildə BÜTÜN koordinatları toplamaq səhvdir: a⃗(1; 0)⋅b⃗(0; 7)=1⋅0+0⋅7=0\vec{a}(1;\,0)\cdot\vec{b}(0;\,7) = 1\cdot0 + 0\cdot7 = 0, 88 deyil. Uyğun koordinatlar əvvəlcə vurulur, sonra toplanır.

⚠️Diqqət

AB⃗\vec{AB} uc nöqtələrin FƏRQİdir, cəmi deyil: A(2; 3)A(2;\,3), B(5; 9)B(5;\,9) üçün AB⃗=(5−2; 9−3)=(3; 6)\vec{AB} = (5-2;\,9-3) = (3;\,6). Tərsinə çıxsan BA⃗\vec{BA} alarsan.

⚠️Diqqət

Məsafə düsturu kvadratlarla işləyir. A(0; 0)A(0;\,0), B(5; m)B(5;\,m), d=13d=13 olduqda birbaşa 13−5=813-5=8 etmə; m2=169−25=144⇒m=12m^2 = 169-25 = 144 \Rightarrow m = 12.

💡Qeyd

Paralel xətlərdə k1=k2k_1 = k_2, perpendikulyar xətlərdə k1⋅k2=−1k_1\cdot k_2 = -1. Beləliklə perpendikulyar əmsal mənfi tərs qiymətdir: k=2⇒k⊥=−12k=2 \Rightarrow k_\perp = -\frac{1}{2}.

💡Qeyd

Ədədə vuranda işarəni saxla: 3⋅(2; −1)=(6; −3)3\cdot(2;\,-1) = (6;\,-3), (6; 3)(6;\,3) deyil. Mənfi koordinat mənfi qalır.

Qaydalar

  1. 1Məsafə: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.
  2. 2Orta nöqtə: M(x1+x22; y1+y22)M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\,\frac{y_1+y_2}{2}\right).
  3. 3Düz xətt: y=kx+by = kx + b, k=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. Paralellik: k1=k2k_1 = k_2. Perpendikulyarlıq: k1⋅k2=−1k_1\cdot k_2 = -1.
  4. 4Vektor: AB⃗=(x2−x1; y2−y1)\vec{AB} = (x_2-x_1;\,y_2-y_1). Uzunluq: ∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}.
  5. 5Skalyar hasil: a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2. Perpendikulyarlıq şərti: a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 0.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq