g11m-3.2· Fəsil 3: Funksiyalar və ardıcıllıqlar· ~18 dəq

Ədədi və həndəsi silsilələr

Ədədi silsilə, həndəsi silsilə, sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi.

Ədədi (arifmetik) silsilədə hər hədd özündən əvvəlki həddə sabit $d$ fərqini əlavə etməklə alınır: $a_n = a_1 + (n-1)d$ . İlk $n$ həddin cəmi $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$ .

Həndəsi silsilədə isə hər hədd əvvəlki həddi sabit $q$ məxrəcinə vurmaqla alınır: $b_n = b_1 q^{n-1}$ . İlk $n$ həddin cəmi $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ ( $q\ne 1$ ). $|q|<1$ olan sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi isə $S = \frac{b_1}{1-q}$ düsturu ilə hesablanır.

Ədədi silsilədə iki ədəd arasındakı orta hədd onların ədədi ortası $\frac{a+b}{2}$ , həndəsi silsilədə isə həndəsi ortası $\sqrt{a\cdot b}$ olur.

📌Nümunə

Məsələn: $a_1=4$ , $d=3$ olduqda $a_8 = 4 + 7\cdot 3 = 25$ ; $b_1=6$ , $q=0{,}5$ olduqda $S = \frac{6}{1-0{,}5} = 12$ .

Əsas terminlər

Ədədi (arifmetik) silsilə — Hər həddin özündən əvvəlki həddə sabit

d

fərqi əlavə etməklə alındığı silsilə:

a_n = a_1 + (n-1)d

Fərq

d

— Ədədi silsilədə iki qonşu həddin fərqi:

d = a_{n+1} - a_n

d>0

artan,

d<0

azalan silsilə verir.

Həndəsi silsilə — Hər həddin əvvəlki həddi sabit

q

məxrəcinə vurmaqla alındığı silsilə:

b_n = b_1 q^{n-1}

Məxrəc

q

— Həndəsi silsilədə iki qonşu həddin nisbəti:

q = \frac{b_{n+1}}{b_n}

Sonsuz azalan həndəsi silsilə —

|q|<1

olan həndəsi silsilə; bütün hədlərinin cəmi sonludur:

S = \frac{b_1}{1-q}

Orta hədd — Ədədi orta hədd

b = \frac{a+c}{2}

; həndəsi orta hədd

b = \sqrt{a\cdot c}

(qonşu üç həddin əlaqəsi).

Ədədi və həndəsi silsilə düsturları

Anlayış	Ədədi silsilə	Həndəsi silsilə
$n$ -ci hədd	$a_n = a_1 + (n-1)d$	$b_n = b_1 q^{n-1}$
İlk $n$ həddin cəmi	$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$	$S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$
Orta hədd	$b = \frac{a+c}{2}$	$b = \sqrt{a\cdot c}$
Sonsuz cəm	yoxdur	$S = \frac{b_1}{1-q}$ ( $\|q\|<1$ )

Cəm düsturunda ədədi silsilə üçün $S_n = \frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$ də işlədilir.

Tipik məsələ → həll yolu

Verilən	Tapılan	Addım
$a_1$ , $d$	$a_n$	$a_n = a_1 + (n-1)d$
İki hədd $a_m$ , $a_k$	$d$	$d = \frac{a_k - a_m}{k - m}$
$b_1$ , $q$	$S$ (sonsuz)	$\|q\|<1$ yoxla, $S = \frac{b_1}{1-q}$
$S$ , $q$	$b_1$	$b_1 = S(1-q)$

Hədd nömrəsinin fərqi $(n-1)$ , $(k-m)$ kimi vuruqlara diqqət et.

✎Ədədi silsilədə iki həddən cəmi tapmaq:

a_3=14

a_7=26

S_{10}=?

1Fərqi tap: $d = \frac{a_7 - a_3}{7 - 3} = \frac{26 - 14}{4} = 3$ .
2Birinci həddi tap: $a_3 = a_1 + 2d \Rightarrow 14 = a_1 + 6 \Rightarrow a_1 = 8$ .
3Onuncu həddi tap: $a_{10} = a_1 + 9d = 8 + 9\cdot 3 = 35$ .
4Cəmi hesabla: $S_{10} = \frac{10(a_1+a_{10})}{2} = \frac{10(8+35)}{2} = \frac{430}{2} = 215$ .

✎Sıçrayan top — sonsuz azalan silsilə:

24

m hündürlükdən düşür, hər dəfə yarısı qədər qalxır

1Düşmə yolu: Əvvəlcə $24$ m düşür.
2Qalxma-düşmə cəmi: Qalxıb-düşmələr $b_1 = 12$ , $q = 0{,}5$ olan həndəsi silsilədir; hər mərhələ iki dəfə (qalxma + düşmə) keçilir.
3Sonsuz cəmi hesabla: Qalxmaların cəmi $S = \frac{12}{1-0{,}5} = 24$ m; bu məsafə həm qalxarkən, həm düşərkən keçilir, yəni $2\cdot 24 = 48$ m.
4Ümumi yol: İlk düşmə ilə birlikdə: $24 + 48 = 72$ m.

🚫Tez-tez səhv

$a_5$ üçün $(n-1)=4$ vurulur, $n=5$ deyil: $a_5 = a_1 + 4d$ . Məsələn $a_1=9$ , $d=-2$ olduqda $a_5 = 9 + 4\cdot(-2) = 1$ , $9+5\cdot(-2)=-1$ deyil.

⚠️Diqqət

İki həddən $q$ tapanda $b_3 = b_1 q^2$ olduğunu unutma: $b_5 = b_3 q^2$ , yəni $q^2 = \frac{b_5}{b_3}$ , $q$ -nun özü deyil. Kvadrat kökü götürməyi atlama.

💡Qeyd

Mənfi $q$ -da işarəyə diqqət: $q=-\frac{1}{3}$ olduqda məxrəc $1-q = 1+\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ , ona görə $S = \frac{9}{4/3} = 6{,}75$ .

💡Qeyd

Üç ardıcıl həddin yoxlanışı: ədədi silsilədə orta hədd $\frac{a+c}{2}$ , həndəsidə isə $b^2 = a\cdot c$ . Məsələn $3;\ 6;\ 12$ üçün $6^2 = 36 = 3\cdot 12$ .

⚠️Diqqət

Sonsuz cəm düsturu $S = \frac{b_1}{1-q}$ yalnız $|q|<1$ olduqda işləyir; $|q|\ge 1$ olduqda silsilə yığılmır.

Qaydalar

1Ədədi silsilə: $a_n = a_1 + (n-1)d$ . $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}$ .
2Həndəsi silsilə: $b_n = b_1 q^{n-1}$ . $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ ( $q \ne 1$ ).
3Sonsuz azalan həndəsi silsilə ( $|q| < 1$ ): $S = \frac{b_1}{1 - q}$ .
4Ədədi orta hədd: $b = \frac{a + c}{2}$ . Həndəsi orta hədd: $b^2 = a\cdot c$ , yəni $b = \sqrt{a\cdot c}$ .
5İki şərtdən $a_1$ və $d$ (və ya $b_1$ və $q$ ) üçün sistem qurub həll et.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq