g11m-3.1· Fəsil 3: Funksiyalar və ardıcıllıqlar· ~16 dəq

Funksiyalar və qrafiklər

Təyin və qiymətlər oblastı, cüt/tək funksiya, sıfırlar, xətti və kvadratik funksiya, qrafik çevrilmələri, tərs funksiya.

Funksiya hər xx qiymətinə yalnız bir yy qiyməti uyğunlaşdıran qaydadır. Təyin oblastı (D(f)D(f)) — funksiyanın mənalı olduğu bütün xx qiymətləridir; qiymətlər oblastı (E(f)E(f)) — alınan bütün yy qiymətləridir. Funksiyanın sıfırları f(x)=0f(x)=0 tənliyinin kökləridir (qrafikin OxOx oxunu kəsdiyi nöqtələr).

f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) olarsa funksiya cüt (qrafik OyOy oxuna nəzərən simmetrik), f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) olarsa təkdir (qrafik koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik). Xətti funksiya y=kx+by=kx+b düz xətt verir. Kvadratik funksiya y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c parabola verir; təpə nöqtəsinin absisi x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}, simmetriya oxu x=−b2ax=-\frac{b}{2a} düz xəttidir; a>0a>0 olduqda parabola yuxarı açılır (təpədə minimum), a<0a<0 olduqda aşağı açılır (təpədə maksimum).

Qrafik çevrilmələri: y=f(x−a)y=f(x-a) qrafiki sağa aa vahid, y=f(x)+ay=f(x)+a isə yuxarı aa vahid sürüşdürür. Tərs funksiya f−1(x)f^{-1}(x) tapmaq üçün y=f(x)y=f(x) bərabərliyində xx-i yy vasitəsilə ifadə edib xx və yy-i yer dəyişdirmək lazımdır.

Qrafiklər

y = x² (parabola), y = 2x − 1 (düz xətt) və y = |x| funksiyalarının qrafikləri
y = x² (parabola), y = 2x − 1 (düz xətt) və y = |x| funksiyalarının qrafikləri

Əsas terminlər

Təyin oblastı D(f)D(f) — Funksiyanın mənalı olduğu bütün xx qiymətləri. Kökaltı ifadə ≥0\ge 0, kəsr məxrəci ≠0\ne 0 olmalıdır.
Qiymətlər oblastı E(f)E(f) — Funksiyanın aldığı bütün yy qiymətləri. Parabolada təpə ordinatından başlayır.
Funksiyanın sıfırları — f(x)=0f(x)=0 tənliyinin kökləri; qrafikin OxOx oxunu kəsdiyi nöqtələr.
Cüt funksiya — f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) ödəyən funksiya; qrafik OyOy oxuna nəzərən simmetrikdir.
Tək funksiya — f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) ödəyən funksiya; qrafik koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.
Tərs funksiya f−1(x)f^{-1}(x) — y=f(x)y=f(x)-dən xx-i tapıb x↔yx\leftrightarrow y yerini dəyişməklə alınan funksiya.
Əsas düsturlar
AnlayışDüstur
Parabolanın təpə absisi / simmetriya oxux0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}
Kökaltı təyin oblastıifadə ≥0\ge 0
Kəsr təyin oblastıməxrəc ≠0\ne 0
Cüt funksiyaf(−x)=f(x)f(-x)=f(x)
Tək funksiyaf(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)

Funksiyaların təhlilində istifadə olunan əsas qaydalar.

Qrafik çevrilmələri
ÇevrilməDüsturİstiqamət
Üfüqi sürüşməy=f(x−a)y=f(x-a)sağa aa vahid
Üfüqi sürüşməy=f(x+a)y=f(x+a)sola aa vahid
Şaquli sürüşməy=f(x)+ay=f(x)+ayuxarı aa vahid
Şaquli sürüşməy=f(x)−ay=f(x)-aaşağı aa vahid

Mötərizə daxilindəki dəyişiklik üfüqi, kənardakı şaquli sürüşmə verir.

✎y=x2−6x+11y=x^2-6x+11 parabolasının təpə ordinatı
  1. 1Təpə absisini tap: x0=−b2a=−−62⋅1=3x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 1}=3.
  2. 2Ordinatı hesabla: y0=32−6⋅3+11=9−18+11=2y_0=3^2-6\cdot 3+11=9-18+11=2.
  3. 3Cavab: Təpə nöqtəsinin ordinatı 22-dir.
✎f(x)=2x+3f(x)=2x+3 üçün f−1(7)f^{-1}(7) qiyməti
  1. 1Tənliyi qur: y=2x+3y=2x+3 bərabərliyində xx-i ifadə et.
  2. 2xx-i tap: 2x=y−3⇒x=y−322x=y-3 \Rightarrow x=\frac{y-3}{2}, yəni f−1(x)=x−32f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}.
  3. 3Qiyməti yerləşdir: f−1(7)=7−32=42=2f^{-1}(7)=\frac{7-3}{2}=\frac{4}{2}=2.
  4. 4Cavab: f−1(7)=2f^{-1}(7)=2.
🚫Tez-tez səhv

Təpə absisində 2a2a-ya bölməyi unutma: y=3x2−12x+1y=3x^2-12x+1 üçün x0=−−122⋅3=2x_0=-\frac{-12}{2\cdot 3}=2, sadəcə 123=4\frac{12}{3}=4 deyil.

⚠️Diqqət

İşarəyə diqqət: x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a} düsturundakı mənfi işarəni unutmaq olmaz. y=x2+8x+2y=x^2+8x+2 üçün ox x=−4x=-4-dür, x=4x=4 deyil.

⚠️Diqqət

f(g(x))f(g(x)) mürəkkəb funksiyada əvvəl daxili gg, sonra ff hesablanır. f(g(3))f(g(3)) ilə g(f(3))g(f(3)) eyni deyil.

💡Qeyd

Kvadrat kökün təyin oblastında bərabərlik də daxildir: 2x−6≥02x-6\ge 0 olduğundan [3; +∞)[3;\,+\infty), (3; +∞)(3;\,+\infty) deyil.

💡Qeyd

a<0a<0 olan parabolada təpə ordinatı ən böyük qiymətdir; y=−x2+6x−5y=-x^2+6x-5 üçün maksimum 44-dür.

Qaydalar

  1. 1Parabolanın təpə absisi və simmetriya oxu: x0=−b2ax_0 = -\frac{b}{2a}.
  2. 2Cüt funksiya: f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) (OyOy oxuna simmetrik); tək funksiya: f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) (başlanğıca simmetrik).
  3. 3ifadə\sqrt{\text{ifadə}} üçün təyin oblastı: ifadə ≥0\ge 0; kəsr üçün məxrəc ≠0\ne 0.
  4. 4y=f(x−a)y=f(x-a) → sağa aa vahid; y=f(x)+ay=f(x)+a → yuxarı aa vahid sürüşmə.
  5. 5Tərs funksiya üçün y=f(x)y=f(x)-dən xx-i tap, sonra x↔yx\leftrightarrow y yerini dəyiş.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

AsanOrtaÇətinQarışıq