g11m-2.6· Fəsil 2: Tənliklər və bərabərsizliklər· ~14 dəq

Parametrli kvadrat tənliklər və işarə analizi

Diskriminantın işarəsinə görə kök şərtləri, köklərin işarəsi və Viet teoremi ilə parametr tapma.

Parametrli kvadrat tənlik $ax^2+bx+c=0$ əmsallarından heç olmasa biri parametrdən (məs. $m$ ) asılı olan tənlikdir. Köklərin sayı diskriminantla idarə olunur: $D>0$ — iki müxtəlif kök, $D=0$ — bir (cüt) kök, $D<0$ — həqiqi kök yoxdur; ona görə şərti çox vaxt $D$ ilə parametrə görə bərabərsizliyə çeviririk.

$a$ -nın əmsal kimi sıfır olmadığı ( $a\ne 0$ ) ayrıca yoxlanmalıdır, əks halda tənlik xətti olur. Köklərin işarəsi Viet teoremi ilə təyin olunur: $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$ hasilinin işarəsi köklərin eyni/əks işarəli olduğunu, $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ cəmi isə üstünlük təşkil edən işarəni göstərir.

📌Nümunə

Məsələn: $x^2-6x+m=0$ tənliyinin bir (cüt) kökü olması üçün $D=36-4m=0$ , buradan $m=9$ .

Əsas terminlər

Parametrli kvadrat tənlik — Əmsallarından heç olmasa biri parametrdən (məs.

m

) asılı olan

ax^2+bx+c=0

tənliyi.

Diskriminant —

D=b^2-4ac

ifadəsi; köklərin sayını idarə edir.

Bir (cüt) kök —

D=0

olduqda alınan yeganə kök; tənliyin bərabər iki kökü deməkdir.

Viet teoremi — Köklərin cəmi

x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}

, hasili

x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}

Köklərin işarəsi — Hasil

x_1\cdot x_2>0

— eyni işarəli;

x_1\cdot x_2<0

— əks işarəli köklər.

Baş əmsalın şərti —

a\ne 0

olmalıdır;

a=0

olduqda tənlik xəttiyə çevrilir.

Diskriminantın işarəsi və kök sayı

$D$ şərti	Kök sayı	Tipik parametr şərti
$D>0$	İki müxtəlif həqiqi kök	$x^2-4x+m=0 \to m<4$
$D=0$	Bir (cüt) kök	$x^2-6x+m=0 \to m=9$
$D<0$	Həqiqi kök yoxdur	$x^2+2x+m=0 \to m>1$

Köklərin sayı $D=b^2-4ac$ ifadəsinin işarəsi ilə təyin olunur.

Viet teoremi ilə köklərin işarəsi

Şərt	Düstur	Nəticə
Köklərin cəmi	$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$	Üstün işarəni göstərir
Köklərin hasili	$x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$	Eyni/əks işarəni göstərir
Eyni işarəli	$x_1\cdot x_2>0$	Cəmin işarəsi köklərin işarəsidir
Əks işarəli	$x_1\cdot x_2<0$	$x^2+4x+m=0 \to m<0$

Köklərin işarəsi hesablanmadan Viet teoremi ilə təyin oluna bilər.

✎Bir (cüt) kök şərti:

D=0

1Tənlik: $x^2-6x+m=0$ tənliyinin bir (cüt) kökü olması üçün $m$ tapılmalıdır.
2Diskriminant: $D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 1\cdot m=36-4m$ .
3Şərt: Bir cüt kök üçün $D=0$ : $\;36-4m=0$ .
4Həll: $4m=36 \Rightarrow m=9$ .
5Cavab: $m=9$ .

✎Viet teoremi ilə

x_1^2+x_2^2

şərti

1Tənlik: $x^2-6x+m=0$ , kökləri $x_1,x_2$ . $x_1^2+x_2^2=20$ olarsa $m$ tapılmalıdır.
2Viet: $x_1+x_2=6$ , $\;x_1\cdot x_2=m$ .
3Eynilik: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=36-2m$ .
4Tənlik qur: $36-2m=20$ .
5Həll: $2m=16 \Rightarrow m=8$ .
6Cavab: $m=8$ .

⚠️Diqqət

Əvvəlcə $a\ne 0$ şərtini yoxla. Məs. $(m-3)x^2+2x+1=0$ ifadəsinin bir kökü hələ $m=3$ (xətti hal) və hələ $D=0$ ilə alına bilər — hər iki halı say.

🚫Tez-tez səhv

$x^2-6x+m=0$ üçün $m=6$ seçmək səhvdir: $6$ yalnız $b$ əmsalıdır. Düzgün yol $D=0$ həllidir: $36-4m=0 \to m=9$ .

🚫Tez-tez səhv

Diskriminantda işarəyə diqqət: $D=b^2-4ac$ , yəni $-4ac$ . $x^2-5x+m=0$ üçün $D=25-4m$ olur, $25+4m$ deyil.

💡Qeyd

Hər iki kök müsbət olması üçün üç şərt birləşməlidir: $D\ge 0$ , cəm $>0$ və hasil $>0$ . Məs. $x^2-6x+m=0 \to 0<m<9$ .

⚠️Diqqət

$x^2+mx+1=0$ kimi sərbəst həddi müsbət olan tənlikdə hasil $\frac{c}{a}=1>0$ sabitdir; heç bir $m$ köklərin işarəsini əks etmir.

Qaydalar

1Əvvəlcə $a\ne 0$ şərtini yoxla; $a=0$ olduqda tənlik xəttidir.
2Kök sayı diskriminantla: $D>0$ — iki kök, $D=0$ — bir kök, $D<0$ — kök yoxdur.
3Bir (cüt) kök şərti: $D=0$ ; iki müxtəlif kök üçün $D>0$ .
4Viet: köklərin hasili $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$ , cəmi $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ .
5Köklər eyni işarəli $\iff x_1\cdot x_2>0$ ; əks işarəli $\iff x_1\cdot x_2<0$ ; tapılan parametri ilkin şərtdə yoxla.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq