g11m-2.5· Fəsil 2: Tənliklər və bərabərsizliklər· ~14 dəq

Modul (mütləq qiymət) tənlik və bərabərsizlikləri

$|x|=a$ , $|f(x)|=g(x)$ tənlikləri; $|x|<a$ , $|x|>a$ tipli bərabərsizliklər və hallara ayırma.

Ədədin mütləq qiyməti onun ədəd oxunda sıfırdan məsafəsidir: $|a|=a$ ( $a\ge 0$ ), $|a|=-a$ ( $a<0$ ); buna görə $|a|\ge 0$ həmişə doğrudur. $|x|=a$ tənliyinin $a>0$ olduqda iki həlli var ( $x=a$ və $x=-a$ ), $a=0$ olduqda bir həlli ( $x=0$ ), $a<0$ olduqda həlli yoxdur.

$|x|<a$ ( $a>0$ ) bərabərsizliyi $-a<x<a$ aralığına, $|x|>a$ ( $a>0$ ) isə $x<-a$ və ya $x>a$ çoxluğuna gətirir. Daha mürəkkəb hallarda modulaltı ifadənin işarəsinə görə oxu nahiyələrə bölüb hər nahiyədə moduldan azad oluruq, sonra alınan kökləri ilkin şərtdə yoxlayırıq.

📌Nümunə

Məsələn: $|2x-6|=4$ tənliyində $2x-6=4$ və ya $2x-6=-4$ , buradan $x=5$ və ya $x=1$ .

Əsas terminlər

Mütləq qiymət (modul) — Ədədin ədəd oxunda sıfırdan məsafəsi:

|a|=a

(

a\ge 0

|a|=-a

(

a<0

). Buna görə

|a|\ge 0

həmişə doğrudur.

|x|=a

tənliyi —

a>0

olduqda iki həlli var (

x=\pm a

a=0

olduqda bir həlli (

x=0

a<0

olduqda həlli yoxdur.

Daxili aralıq bərabərsizliyi —

|x|<a

(

a>0

) bərabərsizliyi

-a<x<a

aralığına gətirir; ucları

\le

ilə daxil olur.

Xarici nahiyə bərabərsizliyi —

|x|>a

(

a>0

) bərabərsizliyi

x<-a

və ya

x>a

çoxluğuna gətirir.

Kənar kök —

|f(x)|=g(x)

tipli tənlikdə sağ tərəfi mənfi edən və ya ilkin şərti pozan, ona görə atılan formal kök.

Nahiyələrə bölmə — Modulaltı ifadənin işarəsinə görə oxu hissələrə ayırıb hər nahiyədə moduldan azad olmaq, sonra kökləri ilkin tənlikdə yoxlamaq.

Modul tənlik və bərabərsizliklərinin əsas halları

İfadə	Şərt	Həll
$\|x\|=a$	$a>0$	$x=a$ və ya $x=-a$
$\|x\|=a$	$a=0$	$x=0$ (bir həll)
$\|x\|=a$	$a<0$	həll yoxdur
$\|x\|<a$	$a>0$	$-a<x<a$
$\|x\|>a$	$a>0$	$x<-a$ və ya $x>a$

$\le$ və $\ge$ hallarında aralığın ucları da daxil olur.

Modulaltı ifadənin işarəsinə görə açılışı

Hal	Şərt	$\|f(x)\|$ açılışı
Müsbət hissə	$f(x)\ge 0$	$\|f(x)\|=f(x)$
Mənfi hissə	$f(x)<0$	$\|f(x)\|=-f(x)$

Nümunə: $|2x-6|=4$ tənliyində $2x-6=4$ və ya $2x-6=-4$ , buradan $x=5$ və ya $x=1$ .

✎

|3x+1|=7

tənliyini həll et

1İki halı qur: $|f(x)|=7$ ( $7>0$ ) olduğundan $3x+1=7$ və ya $3x+1=-7$ .
2Birinci hal: $3x+1=7\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2$ .
3İkinci hal: $3x+1=-7\Rightarrow 3x=-8\Rightarrow x=-\frac{8}{3}$ .
4Cavab: $x=2$ və ya $x=-\frac{8}{3}$ .

✎

|x+4|=3x-2

tənliyini həll et (kökləri yoxla)

1Sağ tərəfin şərti: Modul qeyri-mənfi olduğundan $3x-2\ge 0$ , yəni $x\ge \frac{2}{3}$ olmalıdır.
2İki halı qur: $x+4=3x-2$ və ya $x+4=-(3x-2)$ .
3Birinci hal: $x+4=3x-2\Rightarrow 6=2x\Rightarrow x=3$ ( $x\ge\frac{2}{3}$ ödənir).
4İkinci hal: $x+4=-3x+2\Rightarrow 4x=-2\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$ ; bu sağ tərəfi mənfi edir, kənar kökdür.
5Yoxlama: $x=3$ : $|3+4|=7=3\cdot 3-2$ . Doğru.
6Cavab: $x=3$ .

🚫Tez-tez səhv

$|2x|=10$ tipli tənlikdə $2$ -yə bölməyi unutma: $2x=\pm 10\Rightarrow x=\pm 5$ , $x=\pm 10$ deyil.

⚠️Diqqət

$|f(x)|=g(x)$ tipli tənliklərdə hər kökü ilkin tənlikdə yoxla; sağ tərəfi mənfi edən kök kənar kökdür və atılır.

⚠️Diqqət

$|x|<a$ daxili aralıq ( $-a<x<a$ ), $|x|>a$ isə xarici nahiyədir ( $x<-a$ və ya $x>a$ ) — bu iki halı qarışdırma.

💡Qeyd

$|a|\ge 0$ həmişə doğrudur; $a=0$ olduqda $|a|=0$ , ona görə $|a|>0$ HƏMİŞƏ doğru deyil.

💡Qeyd

$|x-a|<r$ bərabərsizliyi $a$ mərkəzli, $r$ radiuslu aralıqdır; mərkəz uclarının ortasıdır, məsələn $3<x<7$ üçün $a=\frac{3+7}{2}=5$ .

Qaydalar

1Tərif: $|a|=a$ ( $a\ge 0$ ), $|a|=-a$ ( $a<0$ ); həmişə $|a|\ge 0$ .
2 $|x|=a$ : $a>0\to x=\pm a$ ; $a=0\to x=0$ ; $a<0\to$ həll yoxdur.
3 $|f(x)|=b$ ( $b\ge 0$ ): $f(x)=b$ və ya $f(x)=-b$ hallarını həll et.
4 $|x|<a$ ( $a>0$ ) $\to -a<x<a$ ; $|x|>a$ ( $a>0$ ) $\to x<-a$ və ya $x>a$ .
5Modulaltı ifadənin işarəsinə görə nahiyələrə böl, hər kökü ilkin tənlikdə yoxla.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq