g11m-5.4· Fəsil 5: Həndəsə, ölçmə və statistika· ~20 dəq

Statistika, ehtimal və kombinatorika

Orta ədədi qiymət, median, moda, variasiya genişliyi; klassik ehtimal; yerdəyişmələr və birləşmələr.

Statistikada verilənlər toplusunu səciyyələndirən əsas kəmiyyətlər: orta ədədi qiymət (bütün ədədlərin cəmini onların sayına bölmək), median (artan sırada düzülmüş ədədlərin ortadakı qiyməti; cüt sayda olduqda iki ortadakının ədədi ortası), moda (ən çox təkrarlanan qiymət) və variasiya genişliyi (ən böyük ilə ən kiçik qiymətin fərqi).

Klassik ehtimalda təsadüfi hadisənin ehtimalı $P(A) = \frac{m}{n}$ düsturu ilə hesablanır; burada $m$ — $A$ hadisəsinə əlverişli halların sayı, $n$ — bütün mümkün bərabər imkanlı halların sayıdır. Ehtimal həmişə $0$ ilə $1$ arasındadır.

Kombinatorikada $n$ müxtəlif elementin yerdəyişmələrinin sayı $n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n$ , $n$ elementdən $k$ -nı seçməklə düzələn birləşmələrin (qruplaşmaların) sayı isə $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$ düsturu ilə tapılır.

📌Nümunə

Məsələn: $4; 8; 6; 8; 9$ ədədləri üçün orta $= \frac{4+8+6+8+9}{5} = 7$ , sıralanmış halı $4; 6; 8; 8; 9$ olduğundan median $= 8$ , moda $= 8$ , variasiya genişliyi $= 9-4 = 5$ .

Əsas terminlər

Orta ədədi qiymət — Bütün qiymətlərin cəmini onların sayına bölməklə tapılan kəmiyyət.

Median — Artan sıraya düzülmüş ədədlərin ortadakı qiyməti; cüt sayda olduqda iki ortadakının ədədi ortası.

Moda — Verilənlər toplusunda ən çox təkrarlanan qiymət; mütləq verilmiş qiymətlərdən biri olur.

Variasiya genişliyi — Ən böyük qiymət ilə ən kiçik qiymətin fərqi.

Klassik ehtimal —

P(A)=\frac{m}{n}

; burada

m

— əlverişli halların sayı,

n

— bütün mümkün bərabər imkanlı halların sayı. Həmişə

0\le P\le 1

Yerdəyişmə və birləşmə —

n

elementin yerdəyişməsi

P_n=n!

;

n

-dən

k

-nın birləşməsi

C(n,k)=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}

Statistik kəmiyyətlər və düsturlar

Kəmiyyət	Tapılma qaydası
Orta ədədi qiymət	cəmi $\div$ say
Median	sırala; ortadakı (tək) və ya iki ortanın ortası (cüt)
Moda	ən çox təkrarlanan qiymət
Variasiya genişliyi	ən böyük $-$ ən kiçik
Klassik ehtimal	$P=\frac{m}{n}$ , $\ 0\le P\le 1$

Toplunu səciyyələndirən əsas kəmiyyətlər və ehtimal düsturu.

Kombinatorika: sıra vacibdirmi?

Hal	Düstur	Nümunə
Bütün $n$ elementi sıraya düz	$P_n=n!$	$5$ kitab: $5!=120$
$n$ -dən $k$ -nı seç (sıra önəmsiz)	$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$	$6$ -dan $2$ : $\binom{6}{2}=15$
Simmetriya xassəsi	$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$	$\binom{12}{10}=\binom{12}{2}=66$

Seçimdə sıra önəmlidirsə yerdəyişmə, deyilsə birləşmə işlədilir.

✎Tam

2

qara olması üçün birləşmə ilə ehtimal

1Mümkün halların sayı: Qutuda $5$ ağ $+ 3$ qara $= 8$ şar; $2$ -ni seçmək: $n=\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$ .
2Əlverişli halların sayı: Hər ikisi ağ olsun: $m=\binom{5}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=10$ .
3Ehtimalı hesabla: $P=\frac{m}{n}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$ .
4Cavab: Hər iki şarın ağ olması ehtimalı $\frac{5}{14}$ -dir.

✎İki oğlan və iki qız seçmək (komanda)

1Oğlanları seç: $5$ oğlandan $2$ -ni: $\binom{5}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=10$ .
2Qızları seç: $4$ qızdan $2$ -ni: $\binom{4}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6$ .
3Vurma qaydası: Müstəqil seçimlər vurulur: $10\cdot 6=60$ .
4Cavab: Komanda $60$ müxtəlif üsulla seçilə bilər.

🚫Tez-tez səhv

Orta qiyməti tapanda yalnız cəmi yazıb dayanma: $2;4;4;6;9$ üçün cavab $25$ deyil, cəmi sayına bölmək lazımdır: $\frac{25}{5}=5$ .

⚠️Diqqət

Median cüt sayda ədəddə ortadakı bir qiymət deyil, iki ortanın ortasıdır: $3;5;7;8;9;12$ üçün $\frac{7+8}{2}=7{,}5$ .

🚫Tez-tez səhv

Birləşmədə sıra önəmsizdir: $6$ nəfərdən $2$ seçəndə $6\cdot 5=30$ yox, $2$ -yə bölünmüş $\binom{6}{2}=15$ götür.

💡Qeyd

Simmetriyadan istifadə et: $\binom{12}{10}=\binom{12}{2}=66$ — böyük $k$ əvəzinə kiçik $n-k$ ilə hesabla.

⚠️Diqqət

«Heç olmasa bir...» və ya «...olmaması» tipli suallarda əks hadisədən istifadə et: $P=1-P(\text{əks})$ (məs. $1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}$ ).

Qaydalar

1Orta ədədi qiymət: bütün qiymətlərin cəmini onların sayına böl.
2Median: ədədləri artan sıraya düz; tək sayda olduqda ortadakı, cüt sayda olduqda iki ortadakının ədədi ortası.
3Moda: ən çox təkrarlanan qiymət. Variasiya genişliyi = ən böyük $-$ ən kiçik.
4Klassik ehtimal: $P(A) = \frac{m}{n} =$ əlverişli halların sayı / bütün mümkün halların sayı. $0 \le P \le 1$ .
5Kombinatorika: yerdəyişmələr $P_n = n!$ ; birləşmələr $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}$ .

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq