Üstlü və loqarifmik tənliklər

Üstlü tənlik. Əsasları bərabər olan üstlü tənliklərdə $a^x$ tipli ifadələr bərabər olarsa, üstlər də bərabər olur: $a>0$, $a\ne 1$ üçün $a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x)$. Misal: $2^x=16=2^4$ → $x=4$. Bəzən $t=a^x$ əvəzləməsi ilə tənlik kvadrat tənliyə gətirilir: $4^x-5\cdot 2^x+4=0$ tənliyində $t=2^x$ qoyduqda $t^2-5t+4=0$ alınır → $t=1$ və ya $t=4$ → $2^x=1$ ($x=0$) və ya $2^x=4$ ($x=2$). Diqqət: $t=a^x>0$ olduğundan $t$-nin mənfi və ya sıfır qiymətləri atılır.

Loqarifmik tənlik. $\log_a x$ ifadəsi yalnız $x>0$ və $a>0$, $a\ne 1$ olduqda təyin olunur. Buna görə loqarifmik tənliyi həll edərkən əvvəlcə TƏYİN OBLASTI (loqarifm altındakı bütün ifadələrin müsbətliyi) yazılmalı, sonra tapılan köklər bu şərtə görə yoxlanmalıdır — şərti ödəməyən kök kənar kök kimi atılır. Misal: $\log_2 x=3$ → $x=2^3=8$ ($8>0$ ✓). $\log_2(x)+\log_2(x-2)=3$ → $\log_2(x(x-2))=3$ → $x^2-2x=8$ → $x^2-2x-8=0$ → $x=4$ və ya $x=-2$; təyin oblastı $x>2$ olduğundan yalnız $x=4$ qəbul olunur.

Sadə bərabərsizliklər. $a>1$ olduqda funksiya artandır, işarə saxlanılır: $2^x>8\iff x>3$, $\log_2 x>3\iff x>8$. $0<a<1$ olduqda funksiya azalandır, bərabərsizlik işarəsi tərsinə çevrilir: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x>\tfrac{1}{8}\iff x<3$. Loqarifmik bərabərsizlikdə də təyin oblastı ($x>0$) nəzərə alınmalıdır.