g11m-2.2· Fəsil 2: Tənliklər və bərabərsizliklər· ~22 dəq

Kəsr-rasional və irrasional tənliklər

Məxrəc $\ne 0$ , yolverilməz qiymətlər, kvadrata yüksəltmə və kənar köklərin yoxlanması.

Kəsr-rasional tənlik dəyişəni məxrəcdə olan tənlikdir. Onu həll edərkən əvvəlcə yolverilməz qiymətləri (məxrəci sıfır edən qiymətləri) tapırıq: bu qiymətlər cavaba daxil ola bilməz. Adətən hər iki tərəfi ortaq məxrəcə vurub, alınan tənliyi həll edir, sonra köklərin yolverilməz olub-olmadığını yoxlayırıq.

İrrasional tənlik dəyişəni kök altında olan tənlikdir. Onu həll etmək üçün kökü təcrid edib hər iki tərəfi kvadrata yüksəldirik; lakin kvadrata yüksəltmə kənar (yad) köklər yarada bilər, ona görə hər kökü mütləq ilkin tənlikdə yoxlamaq lazımdır.

Mürəkkəb tənliklərdə əvəzləmə üsulundan istifadə olunur: məsələn $t=\sqrt{x}$ və ya $t=x^2+x$ işarələməsi tənliyi sadə kvadrat tənliyə çevirir.

📌Nümunə

Məsələn: $\sqrt{x+2}=x$ → kvadrata yüksəldək: $x+2=x^2$ → $x^2-x-2=0$ → $x=2$ və ya $x=-1$ . Yoxlama: $x=2$ üçün $\sqrt{4}=2$ ✓; $x=-1$ üçün $\sqrt{1}=1\ne -1$ ✗, deməli $x=-1$ kənar kökdür və atılır.

Əsas terminlər

Kəsr-rasional tənlik — Dəyişəni məxrəcdə olan tənlik. Həll edərkən məxrəci sıfır edən qiymətlər cavaba daxil ola bilməz.

Yolverilməz qiymət — Məxrəci sıfır edən

x

qiyməti; ifadə bu nöqtədə təyin olunmur, kök ola bilməz.

İrrasional tənlik — Dəyişəni kök altında olan tənlik, məsələn

\sqrt{x+5}=3

; kvadrata yüksəltməklə həll olunur.

Kənar (yad) kök — Kvadrata yüksəltmədən sonra yaranan, lakin ilkin tənliyi ödəməyən qiymət; yoxlamada atılır.

Əvəzləmə üsulu —

t=\sqrt{x}

və ya

t=x^2

kimi işarələmə ilə tənliyi sadə kvadrat tənliyə çevirmə üsulu.

Kəsrin sıfıra bərabərliyi —

\frac{a}{b}=0

o zaman doğrudur ki, surət

a=0

və məxrəc

b\ne 0

olsun.

Həll qaydaları: kəsr-rasional və irrasional tənliklər

Tənlik növü	Açar şərt	Həll addımı
Kəsr-rasional	məxrəc $\ne 0$	Yolverilməz qiyməti tap, ortaq məxrəcə vur, kökü yoxla
$\frac{a}{b}=0$	$a=0$ , $b\ne 0$	Yalnız surəti sıfır edən qiymət kökdür
$\sqrt{A}=B$	$B\ge 0$	Kökü təcrid et, kvadrata yüksəlt: $A=B^2$
İrrasional (kvadrata yüksəltmə)	kənar kök riski	Hər kökü ilkin tənlikdə yoxla, kənarı at
Əvəzləmə ( $t=\sqrt{x}$ )	$t\ge 0$	$t$ tap, sonra $x=t^2$ geri əvəz et

Hər kvadrata yüksəltmə kənar kök yarada bilər — yoxlama mütləqdir.

Sağ tərəfin işarəsi və kənar kök (

\sqrt{A}=B

)

Nümunə	Tapılan namizədlər	Yoxlama nəticəsi
$\sqrt{x+2}=x$	$x=2$ , $x=-1$	$x=2$ kök; $x=-1$ kənar ( $B<0$ )
$\sqrt{x+6}=x$	$x=3$ , $x=-2$	$x=3$ kök; $x=-2$ kənar ( $B<0$ )
$\sqrt{x-2}=x-4$	$x=3$ , $x=6$	$x=6$ kök; $x=3$ kənar ( $3-4<0$ )

$\sqrt{A}=B$ -də sağ tərəf $B$ mənfi olarsa, o namizəd kənar kökdür.

✎İrrasional tənlik və kənar kökün atılması:

\sqrt{x+6}=x

1Yolverilən şərt: $\sqrt{x+6}=x$ olduğundan sağ tərəf $x\ge 0$ olmalıdır.
2Kvadrata yüksəlt: $x+6=x^2$ , yəni $x^2-x-6=0$ .
3Kvadrat tənliyi həll et: Köklər $x=3$ və $x=-2$ (çünki $3\cdot(-2)=-6$ , $3+(-2)=1$ ).
4Yoxlama $x=3$ : $\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3$ ✓ — kökdür.
5Yoxlama $x=-2$ : $\sqrt{-2+6}=\sqrt{4}=2$ , lakin sağ tərəf $-2$ ; $2\ne -2$ ✗ — kənar kök.
6Cavab: $x=3$ .

✎Əvəzləmə üsulu:

x-5\sqrt{x}+6=0

1Əvəzləmə: $t=\sqrt{x}$ işarələyək ( $t\ge 0$ ); onda $x=t^2$ və tənlik $t^2-5t+6=0$ olur.
2Kvadrat tənliyi həll et: $t^2-5t+6=0 \Rightarrow t=2$ və ya $t=3$ (çünki $2\cdot 3=6$ , $2+3=5$ ).
3Geri əvəz et: $t=\sqrt{x}$ olduğundan $x=t^2$ : $t=2 \Rightarrow x=4$ , $t=3 \Rightarrow x=9$ .
4Yoxlama: $x=4$ : $4-5\cdot 2+6=0$ ✓; $x=9$ : $9-5\cdot 3+6=0$ ✓.
5Cavab: $x=4$ və $x=9$ .

🚫Tez-tez səhv

Əvəzləmədə tapılan $t$ qiymətlərini cavab kimi yazmaq səhvdir: onlar $\sqrt{x}$ -in qiymətləridir. $x$ tapmaq üçün kvadrata yüksəlt: $t=2 \Rightarrow x=4$ , $t=3 \Rightarrow x=9$ .

⚠️Diqqət

$\sqrt{A}=B$ tənliyində sağ tərəf $B<0$ olarsa, o namizəd kənar kökdür və atılır — kvadrat kök mənfi ola bilməz.

⚠️Diqqət

Kəsr-rasional tənlikdə məxrəci sıfır edən qiymət ( $x=2$ üçün $x-2$ ) yolverilməzdir; hətta tənliyi formal ödəsə belə kök ola bilməz.

💡Qeyd

$\frac{a}{b}=0$ yalnız o zaman doğrudur ki, surət $a=0$ olsun, məxrəc isə $b\ne 0$ qalsın — buna görə surəti sıfır edən qiyməti tap, sonra məxrəci yoxla.

💡Qeyd

Kvadrata yüksəltmədən sonra alınan HƏR kökü ilkin tənlikdə yerinə qoy — kvadrata yüksəltmə kənar kök yarada bilər.

Qaydalar

1Kəsr-rasional tənlikdə əvvəlcə məxrəci sıfır edən yolverilməz qiymətləri tap.
2Kəsr sıfıra bərabərdirsə ( $\frac{a}{b}=0$ ), surət sıfır, məxrəc isə sıfırdan fərqli olmalıdır.
3İrrasional tənlikdə kökü təcrid et, sonra hər iki tərəfi kvadrata yüksəlt.
4 $\sqrt{A}=B$ tənliyində $B\ge 0$ olmalıdır; mənfi sağ tərəf kök vermir.
5Kvadrata yüksəltmədən sonra alınan hər kökü ilkin tənlikdə yoxla — kənar kökləri at.
6Əvəzləmə üsulunda ( $t=\sqrt{x}$ və ya $t=$ ifadə) sonda $t$ -ni geri əvəz edib $x$ -i tap və yolverilməzliyi yoxla.

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq