g11m-2.1· Fəsil 2: Tənliklər və bərabərsizliklər· ~18 dəq

Kvadrat tənliklər və Viet teoremi

Diskriminant, köklər düsturu, Viet teoremi, simmetrik ifadələr və vuruqlara ayırma.

$ax^2+bx+c=0$ ( $a\ne 0$ ) kvadrat tənliyinin diskriminantı $D=b^2-4ac$ düsturu ilə tapılır. $D>0$ olduqda iki həqiqi kök, $D=0$ olduqda bir (cüt) kök, $D<0$ olduqda həqiqi kök yoxdur. Köklər düsturu: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ .

Viet teoreminə görə $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ və $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$ . Kökləri $x_1$ və $x_2$ olan gətirilmiş kvadrat tənlik: $x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2=0$ .

Simmetrik ifadələr Viet düsturları ilə hesablanır: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ , $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$ . Kvadrat üçhədli vuruqlara ayrılır: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Əsas terminlər

Kvadrat tənlik —

ax^2+bx+c=0

(

a\ne 0

) şəklində tənlik;

a

baş əmsal,

b

orta əmsal,

c

sərbəst həddir.

Diskriminant —

D=b^2-4ac

ifadəsi; köklərin sayını və işarəsini təyin edir.

Köklər düsturu —

x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

düsturu ilə tənliyin kökləri tapılır.

Viet teoremi —

x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}

və

x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}

; köklər tapılmadan onların cəmi və hasili bilinir.

Gətirilmiş kvadrat tənlik —

a=1

olan tənlik:

x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2=0

, yəni

x^2+bx+c=0

Vuruqlara ayırma — Kvadrat üçhədli köklərlə vuruqlara ayrılır:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Diskriminantın işarəsi və kök sayı

Şərt	Həqiqi kök sayı	Köklər düsturu
$D>0$	İki müxtəlif həqiqi kök	$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$
$D=0$	Bir (cüt) kök	$x=\dfrac{-b}{2a}$
$D<0$	Həqiqi kök yoxdur	—

$D=b^2-4ac$ qiymətinə görə kvadrat tənliyin köklərinin sayı.

Viet teoremi və simmetrik ifadələr

İfadə	Düstur
Köklərin cəmi	$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$
Köklərin hasili	$x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$
Kvadratlar cəmi	$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$
Tərs qiymətlər cəmi	$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$

Köklər tapılmadan Viet düsturları ilə hesablanan ifadələr.

✎

x^2-9x+20=0

tənliyini diskriminantla həll etmək

1Əmsalları yaz: $a=1$ , $b=-9$ , $c=20$ .
2Diskriminantı hesabla: $D=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot 1\cdot 20=81-80=1$ .
3 $D>0$ olduğundan iki kök var: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{9\pm\sqrt{1}}{2}=\dfrac{9\pm 1}{2}$ .
4Kökləri ayır: $x_1=\dfrac{9+1}{2}=5$ , $x_2=\dfrac{9-1}{2}=4$ .
5Cavab: $x_1=5$ , $x_2=4$ . Yoxlama (Viet): cəm $5+4=9=-b$ , hasil $5\cdot 4=20=c$ .

✎

x^2-6x+4=0

üçün

x_1^2+x_2^2

qiymətini Vietlə tapmaq

1Viet düsturları: $x_1+x_2=-b=6$ , $x_1\cdot x_2=c=4$ .
2Lazımi eyniliyi yaz: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ .
3Qiymətləri yerinə qoy: $x_1^2+x_2^2=6^2-2\cdot 4=36-8$ .
4Cavab: $x_1^2+x_2^2=28$ .

⚠️Diqqət

Köklərin cəmi $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ -dır — işarəyə diqqət. Məsələn $x^2-10x+21=0$ üçün cəm $-(-10)=+10$ -dur, $-10$ deyil.

🚫Tez-tez səhv

Viet teoremində cəmlə hasili qarışdırma: $x^2-10x+21=0$ -da $21$ köklərin hasilidir ( $\dfrac{c}{a}$ ), cəm isə $-b=10$ -dur.

🚫Tez-tez səhv

$x_1^2+x_2^2$ tapanda $-2x_1x_2$ həddini unutma: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ , sadəcə $(x_1+x_2)^2$ deyil.

💡Qeyd

$D<0$ olduqda həqiqi kök yoxdur. $x^2-5x+7=0$ üçün $D=25-28=-3<0$ , deməli $0$ həqiqi kök.

💡Qeyd

Köklərin işarəsini Vietlə yoxla: hasil müsbət, cəm müsbətdirsə hər iki kök müsbətdir; hasil mənfidirsə köklər müxtəlif işarəlidir.

Qaydalar

1Diskriminant: $D=b^2-4ac$ . İşarələri düzgün yerləşdir.
2Köklər düsturu: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ .
3Viet ( $a=1$ olduqda): $x_1+x_2=-b$ , $x_1\cdot x_2=c$ .
4Ümumi halda: $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ , $x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$ .
5 $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ .
6 $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Məşq

15 asan · 15 orta · 15 çətin

Hər testdə təsadüfi 10 sual seçilir

Asan Orta Çətin Qarışıq